Для стационарных электрических полей теорема гаусса примет вид
Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1):
где – модуль нормальной составляющей поля
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ, определить элементарные потоки Δ поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2):
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .
Теорема Гаусса утверждает:
Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность , в центре которой находится точечный заряд . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
где – радиус сферы. Поток через сферическую поверхность будет равен произведению на площадь сферы 4π. Следовательно,
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).
Рассмотрим конус с малым телесным углом при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку , а на поверхности – площадку . Элементарные потоки и Δ через эти площадки одинаковы. Действительно,
Здесь Δ – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса .
Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку 0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность не охватывает точечного заряда , то поток = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность насквозь. Внутри поверхности зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.
Таким образом, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность в виде соосного цилиндра некоторого радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).
При весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).
В этом случае гауссову поверхность целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:
где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.
Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.
Теорема Гаусса
Теорема Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и суммарным зарядом Q внутри этой поверхности:
где ε0 — та же константа (электрическая постоянная), что и в законе Кулона.
Подчеркнем, что Q — это заряд, заключенный внутри той поверхности, по которой берется интеграл в левой части. При этом не существенно, как именно распределен заряд внутри поверхности; заряды вне поверхности не учитываются. (Внешний заряд может повлиять на расположение силовых линий, но не на алгебраическую сумму линий, входящих внутрь поверхности и выходящих наружу.
Прежде чем переходить к обсуждению теоремы Гаусса, заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых ситуаций, которые мы рассмотрим ниже
Как же связаны между собой теорема Гаусса и закон Кулона? Покажем вначале, что закон Кулона следует из теоремы Гаусса. Рассмотрим уединенный точечный заряд Q. По предположению теорема Гаусса справедлива для произвольной замкнутой поверхности. Выберем поэтому такую поверхность, с которой удобнее всего иметь дело: симметричную поверхность сферы радиусом r, в центре которой находится наш заряд Q (рис. 23.7).
Поскольку сфера (конечно, воображаемая) симметрична относительно заряда, расположенного в ее центре, напряженность электрического поля Е должна иметь одно и то же значение в любой точке сферы; кроме того, вектор Е всюду направлен наружу (или всюду внутрь) параллельно вектору dA элемента поверхности. Тогда равенство
(площадь сферы радиусом r равна 4πr 2 ). Отсюда находим
В итоге мы получили закон Кулона.
Теперь об обратном. В общем случае теорему Гаусса нельзя вывести из закона Кулона: теорема Гаусса является более общим (и более тонким) утверждением, нежели закон Кулона. Однако для некоторых частных случаев теорему Гаусса удается получить из закона Кулона; мы используем общие рассуждения относительно силовых линий. Рассмотрим для начала уединенный точечный заряд, окруженный сферической поверхностью (рис. 23.7). Согласно закону Кулона, напряженность электрического поля в точке на поверхности сферы равна
Проделав в обратном порядке аналогичные рассуждения, получим
Это и есть теорема Гаусса, и мы вывели ее для частного случая точечного заряда в центре сферической поверхности. Но что можно сказать о поверхности неправильной формы, например поверхности А2 на рис. 23.8 . Через эту поверхность проходит то же число силовых линий, что и через сферу А1, но поскольку поток напряженности электрического поля через поверхность пропорционален числу проходящих через нее силовых линий, поток через А2 равен потоку через А1.
Следует ожидать поэтому, что формула
справедлива для любой замкнутой поверхности, окружающей точечный заряд.
Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверхности находится не единственный заряд. Для каждого заряда в отдельности
Но коль скоро полная напряженность электрического поля Е есть сумма напряженностей, обусловленных отдельными зарядами, , то
где — суммарный заряд, заключенный внутри поверхности.
Итак, эти простые рассуждения подсказывают нам, что теорема Гаусса справедлива для любого распределения электрических зарядов внутри любой замкнутой поверхности. Следует иметь в виду, однако, что поле Е не обязательно обусловлено только зарядами Q, которые находятся внутри поверхности. Например, на рис. 23.3 рассмотренном ранее, электрическое поле Е существует во всех точках поверхности, однако оно создается вовсе не зарядом внутри поверхности (здесь Q = 0). Теорема Гаусса справедлива для потока напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность; она утверждает, что если поток, направленный внутрь поверхности, не равен потоку, направленному наружу, то это обусловлено наличием зарядов внутри поверхности.
Теорема Гаусса справедлива для любого векторного поля, обратно пропорционального квадрату расстояния, например, для гравитационного поля. Но для полей другого типа она не будет выполняться. Допустим, например, что поле точечного заряда убывает как kQ/r; тогда поток через сферу радиусом r определялся бы выражением
Чем больше радиус сферы, тем больше был бы поток, несмотря на то что заряд внутри сферы остается постоянным.
Применения теоремы Гаусса
Теорема Гаусса позволяет выразить связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля в очень компактной и элегантной форме. С помощью этой теоремы удается легко найти напряженность поля в случае, когда распределение зарядов оказывается достаточно простым и симметричным. При этом, однако, необходимо позаботиться о надлежащем выборе поверхности интегрирования. Обычно стремятся выбрать поверхность так, чтобы напряженность электрического поля Е была постоянна по всей поверхности, или по крайней мере на определенных ее участках.
Чтобы получить эти результаты на основании закона Кулона, нам пришлось бы потрудиться, интегрируя по объему шара. Благодаря использованию теоремы Гаусса и симметрии задачи решение оказалось почти тривиальным. Это демонстрирует огромные возможности теоремы Гаусса. Однако подобное использование этой теоремы ограничено в основном случаями, когда распределение зарядов обладает высокой симметрией. В подобных ситуациях мы выбираем простую поверхность, на которой Е = const, и интеграл берется без труда. Разумеется, теорема Гаусса справедлива для любой поверхности, «простые» поверхности выбираются лишь для облегчения интегрирования.
Заключение
Поток напряженности однородного электрического поля Е через плоскую площадку А равен ФE = Е • А. Если поле неоднородно, то поток определяется интегралом ФE = ∫Е • dA.
Вектор А (или dA) направлен перпендикулярно площадке А (или dA); для замкнутой поверхности вектор А направлен наружу. Поток через поверхность пропорционален числу силовых линий, проходящих через эту поверхность.
Теорема Гаусса утверждает, что результирующий поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, равен суммарному заряду внутри поверхности, деленному на ε0 :
В принципе теорему Гаусса можно использовать для определения напряженности электрического поля, создаваемого заданным распределением зарядов. Однако на практике ее применение ограничено в основном несколькими частными случаями, когда распределение зарядов имеет высокую симметрию. Истинная ценность теоремы Гаусса состоит в том, что она устанавливает в более общем и более элегантном виде, чем закон Кулона, связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля. Теорема Гаусса является одним из фундаментальных уравнений электромагнитной теории.
Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!
§ 1.11. Теорема Гаусса
Поток напряженности электрического поля
Предварительно введем новую физическую величину — поток напряженности электрического пол я. Напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади. Именно для этой величины формулируется теорема Гаусса.
Выделим в поле элемент площадью ΔS. Он должен быть настолько малым, чтобы напряженность электрического поля во всех его точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к элементу. Направление этой нормали выбирается произвольно (рис. 1.36).
Угол между векторами 
и обозначим через α. Тогда по определению потоком напряженности электрического поля Е называется произведение площади ΔS поверхности на проекцию напряженности электрического поля на нормаль к элементу:
Поток может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения угла α.
Наглядно поток напряженности поля можно интерпретировать как величину, пропорциональную числу силовых линий, пронизывающих этот элемент. Линии, пронизывающие элемент ΔS, пронизывают также элемент ΔS0, представляющий собой проекцию ΔS на плоскость, перпендикулярную вектору (см. рис. 1.37). Поток напряженности можно записать в форме:
так как S0 = S cos α.
Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью ΔS1, вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы (рис. 1.38):
Так же определяется поток через замкнутую поверхность. За положительную нормаль к любому элементу замкнутой поверхности принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная не внутрь поверхности, а наружу.
Теорема Гаусса для точечного заряда
Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и зарядом внутри этой поверхности.
Вначале рассмотрим простой частный случай. Вычислим поток вектора в однородной среде через сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд q (рис. 1.39).
Напряженность поля в каждой точке на поверхности сферы одна и та же по модулю, а проекция Еn равна:
Поток вектора через поверхность сферы равен:
Этот результат, надо ожидать, справедлив и для любой замкнутой поверхности, содержащей заряд q. Ведь любую поверхность S1 или S2 (рис. 1.39) пронизывает то же число силовых линий, что и поверхность S. Таким образом, согласно теореме Гаусса, поток напряженности через замкнутую поверхность пропорционален электрическому заряду внутри этой поверхности.
Теперь дадим более строгое доказательство теоремы для одного точечного заряда, охватываемого произвольной замкнутой поверхностью площадью S (рис. 1.40).
Выделим на этой поверхности малый элемент ее ΔS. Поток напряженности через этот элемент равен:
где r — расстояние от элемента ΔS до заряда q, т. е. модуль радиуса-вектора, указывающего положение элемента ΔS относительно заряда q. Согласно (1.11.2),
где ΔSq — проекция площадки ΔS на плоскость, перпендикулярную радиусу-вектору . Так как ΔS очень мала, то ΔSq фактически есть проекция ΔS на поверхность сферы. Следовательно, уравнение (1.11.6) можно переписать так:
Для дальнейшего доказательства необходимо использовать понятие телесного угла.
Рассмотрим сферу радиусом r. Представим себе внутри этой сферы конус, вершина которого находится в центре сферы (рис. 1.41). Этот конус вырежет на сфере некоторую часть поверхности площадью S. Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Ω служит отнопхение площади S к квадрату радиуса r сферы:
Нетрудно видеть, что значение телесного угла не зависит от радиуса сферы, так как площадь S вырезаемой им площадки пропорциональна квадрату радиуса. За единицу телесного угла принят стерадиан (ср) — это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса сферы. Полный телесный угол, охватывающий все пространство вокруг точки, равен:
Выражение в формуле (1.11.7) есть не что иное, как значение телесного угла ΔΩ, под которым виден элемент поверхности ΔS0 (или, что то же самое, элемент ΔS) из точки, где расположен заряд q:
Подставляя выражение (1.11.10) в уравнение (1.11.7), получим:
Суммируя подобные выражения для всех элементов ΔS0 поверхности S, получим полный поток напряженности через замкнутую поверхность:
согласно (1.11.9). Итак, теорему Гаусса можно записать следующим образом:
Если замкнутая поверхность не содержит внутри себя электрического заряда, то поток напряженности через нее равен нулю (рис. 1.42). Силовые линии, идущие от заряда q, либо не пересекают ее совсем, либо же пересекают четное число раз. При этом число линий, выходящих из поверхности, равно числу линий, входящих в нее, и поэтому N = 0. (Выходящие из поверхности линии вносят положительный вклад в поток, а входящие — отрицательный.)
Обобщение теоремы Гаусса
Теорема Гаусса легко обобщается на случай любого числа точечных зарядов. Поток напряженности через поверхность площадью S для каждого заряда определяется формулой (1.11.12). Вследствие принципа суперпозиции полей полный поток равен сумме потоков от всех зарядов. Поэтому, суммируя выражения (1.11.12) для всех зарядов, найдем:
Если алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности равна нулю, то и N = 0.
Теорему Гаусса можно обобщить и для случая, когда заряд распределен в пространстве непрерывно. Это мы рассмотрим в следующем параграфе.
Коэффициент k в формуле (1.11.13) равен единице в абсолютной сиотеме единиц и в СИ. Поэтому теорема Гаусса в СИ не содержит множителя 4π: