Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е.
Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее , можно подразделить на следующие два несовместных события:
1) Х примет значение, меньшее , с вероятностью ;
2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью . По теореме сложения имеем .
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Это важное следствие вытекает из свойства 2, если
ПРИМЕР 13.1.40 Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).
Решение. Так как на интервале (1;2), по условию,
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Пусть . Тогда в силу непрерывности функции F(х) (Х — непрерывная случайная величина) ;
Например, равенство доказывается так:
Замечание. Ранее мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, – невозможные события. Теперь же рассматриваются события возможные, но с нулевой вероятностью. Они появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии “возможном, но обладающем нулевой вероятностью”, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна из точек внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из этой фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.
Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю. Однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т.е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:
Доказательство. 1) Пусть . Тогда событие невозможно (так как значений, меньших , величина Х по условию не принимает) и,следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть . Тогда событие достоверно (так как все возможные значения Х меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми (первое свойство).
При возрастании х в интервале (a;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).
При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).
График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.13.1.3.
Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(X) равна единице.
ПРИМЕР 13.1.41 Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. Если , то (третье свойство).
Если , то , т.к. Х может принять единственное возможное в данном случае значение -1 с вероятностью 0,2.
Если , то . Действительно, т.к. Х может принять значение -1 (вероятность этого события равна 0,2) или значение 2
(вероятность этого события равна 0,3). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
Функция распределения
Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения.
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, то есть
Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле
Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23.
Пример 25. Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид:
| xi | 0,1 | 1,2 | 2,3 | 4,5 |
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,6 | 0,1 |
Решение. Определим значения функции F(x) = P(X
Из непрерывности функции F(x) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид
Согласно условию, вероятность события A1 P(A1) = 0,7, вероятность события A2– P(A2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , .
Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:
| Элементарные события | События | Вероятности |
| Итого |
Ряд распределения данной случайной величины X имеет вид
| xi | Итого | ||
| pi | 0,42 | 0,46 | 0,12 |
Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9.
Вычислим функцию распределения данной случайной величины:
Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:
График функции F(x) приведён на рисунке 10.
| Рисунок 9 – Столбцовая диаграмма | Рисунок 10 – Функция распределения |
Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке:
По своему смыслу значения функции f(x) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x.
Функция плотности распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f(x) еще называют дифференциальной функцией распределения, тогда как функцию распределения F(x) называют, соответственно, интегральной функцией распределения.
График функции плотности распределения f(x) называется кривой распределения.
Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины.
Свойство 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция:
(геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс).
Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле
(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью Ох и прямыми x = a и x = b).
Свойство 3.
(геометрически: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице).
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то
Свойство 4. Функция распределения F(x) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:
Пример 27. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
Определить дифференциальную функцию плотности распределения.
Решение. Определим дифференциальную функцию плотности распределения
Пример 28. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций?
Решение. а) Проверим справедливость свойства 3:
В данном случае имеем
Функция неотрицательна для всех x. То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.
б) Заданная функция не является плотностью распределения некоторой случайной величины, так как .
в) Проверим справедливость свойства 3:
В данном случае имеем
Функция неотрицательна для всех . То есть заданная функция является функцией плотности распределения некоторой случайной величины.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется случайной величиной?
2. Какие величины называются дискретными? непрерывными?
3. Что называется законом распределения случайной величины?
4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случайной величины? непрерывной?
5. Что характеризует функция распределения F(x) случайной величины?
6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения?
7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл.
8. Для каких величин определена функция плотности распределения?
9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные значения?
10. Как связаны между собой функции F(x) и f(x)?
11. Какие случайные величины называются непрерывными?
12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс?
13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной величины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?