Определить вероятность того что х примет значение из интервала

Ларин Александр Александрович

1. (237 ) Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами.

Для начала найдем вероятность того, что ни одному из студентов не достанется билет с простыми вопросами.

Эта вероятность равна

Первая дробь показывает вероятность того, что первому студенту достался билет со сложными вопросами (их 17 из 20)

Вторая дробь показывает вероятность того, что второму студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 16 из 19)

Третья дробь показывает вероятность того, что третьему студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 15 из 18)

И так далее до пятого студента. Вероятности перемножаются т.к. по условию требуется одновременное выполнение этих условий.

Чтобы получить вероятность того, что хотя бы одному из студентов достанется билет с простыми вопросами надо вычесть полученную выше вероятность из единицы.

2. (248) Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей f(x)

2) определить коэффициент А

3) схематично построить графики F(x) и f(x)

4) найти математическое ожидание и дисперсию Х

5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ( a , b )

1. Используем свойство . Получаем:

2. Используем свойство

3. Ниже показаны графики функции распределения и плотности распределения.

Непрерывные случайные величины

( НСВ )

Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно занимают некоторый интервал.

Если дискретная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей, то непрерывную случайную величину, возможные значения которой сплошь занимают некоторый интервал (а, b) задать перечнем всех возможных значений невозможно.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х , т.е. вероятность события Х 0 . Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

2 0 . F(x) – неубывающая функция, т.е.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

3 0 . Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

Следствие. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой оси ОХ (−∞, +∞), то справедливы предельные соотношения:

Рассмотренные свойства позволяют представить общий вид графика функции распределения непрерывной случайной величины:

Функцию распределения НСВ Х часто называют интегральной функцией.

Дискретная случайная величина тоже имеет функцию распределения:

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример. ДСВ Х задана законом распределения

Найти её функцию распределения и построить график.

Если 1 8, то F(x) = 1 (или F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).

Итак, функция распределения заданной ДСВ Х:

График искомой функции распределения:

НСВ можно задать плотностью распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Плотность распределения ещё называют: плотность вероятности, дифференциальной функцией.

График плотности распределения называют кривой распределения.

Теорема 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Свойства плотности распределения:

1 0 . Плотность распределения — неотрицательная функция:

2 0 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от −∞ до +∞ равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

Пусть f(x) – плотность распределения, F(х) – функция распределения, тогда

○ F(x) = Р(Х b, то F(х) = =+ + = = 1.

Итак, функция распределения имеет вид:

График искомой функции:

Числовые характеристики НСВ

Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определённый интеграл

Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.

Дисперсией НСВ Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то

Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси (−∞; +∞), то

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D(X) = − [M(X)] 2 ,

D(X) = − [M(X)] 2 .

Среднее квадратическое отклонение НСВ Х определяется равенством

Замечание.Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ Х.

Пример. Найти М(Х) и D(X) случайной величины Х, заданной функцией распределения

Найдём плотность распределения

D(X) = − [M(X)] 2 = − = − = .

Пример (**).Найти М(Х), D(X) и (X) случайной величины Х, если

D(X) =− [M(X)] 2 =− = ∙−=.

Теоретические моменты НСВ.

Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством

Центральный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то

Теория вероятностей

382. В лифт двенадцатиэтажного дома вошли три человека. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все три пассажира сойдут на одном этаже; что только два пассажира сойдут на одном этаже.

Решение.

Пусть А – все три пассажира выйдут на одном этаже.

Вероятность того, что каждый из пассажиров выйдет на одном из одиннадцати этажей, равна 1/11. При этом выйти они могут на любом из 11 этажей. Так как события независимы, то по теореме умножения вероятностей:

Пусть B – два пассажира сойдут на одном этаже, С – два пассажира выйдут на одном этаже, третий пассажир выйдет на другом.

Вероятность того, что два пассажира сойдут на одном этаже, равна:

Вероятность того, что третий пассажир выйдет на любом из оставшихся 10 этажей равна 10/11, тогда вероятность того, что два пассажира выйдут на одном этаже, а третий на другом, равна:

392. Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения f(x). Требуется:

1) определить коэффициент А;

2) найти функцию распределения F(х);

3) схематично построить графики функций f(x) и F(х);

4) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;

5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b).

Решение.

1) Определим коэффициент А из условия нормировки:

2) Найдем функцию распределения F(х).

При имеем:

Таким образом, получаем:

3) Построим схематично графики функций f(x) и F(х).

4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию Х.

Математическое ожидание найдем по формуле:

Будем интегрировать по частям:. В качестве u выберем функцию х, , тогда .

Дисперсию найдем по формуле:

5) Определим вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b).

Находим следующим образом:

402. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и у (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) написать плотность вероятности и схематически изобразить её график;

б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в);

в) найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на д;

г) применяя правило «3у», найти крайние (допустимые) значения случайной величины Х.

Решение.

а) Плотность вероятности нормально распределенной величины имеет вид:

Где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение. В нашем случае , , тогда:

Изобразим график функции .

б) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в) по формуле:

По таблице значений функции Лапласа находим , тогда

в) Найдем вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на д.

Воспользуемся формулой:

г) Применяя правило «3у», найдем крайние (допустимые) значения случайной величины Х.

Согласно правилу «3у», все допустимые значения лежат в интервале , поэтому крайнее левое значение величины Х: , крайнее правое значение величины Х:

412. АТС имеет k линий связи. Поток вызовов – простейший с интенсивностью л вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти: 1) абсолютную и относительную пропускные способности АТС; 2) вероятность того, что все линии связи заняты; 3) среднее число занятых линий связи; 4) определить число линий связи АТС достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала б.

Дано: k=4; л=0,8; t=4; б=0,05.

Решение.

1) Найдём абсолютную и относительную пропускные способности АТС.

Так как время переговоров распределено по показательному закону и среднее время переговоров t минут, то пропускная способность одной линии: a=1/t. Пропускная способность АТС, имеющей k линий: k/t=4/4=1 мин-1. Относительная пропускная способность: д=(k/t)/(tл)=1/(0,8Ч4)=0,3125

2) Вероятность того, что все линии связи заняты

Вероятность того, что все линии связи заняты, равна вероятности того, что за 1 мин поступит четыре вызова. Для этого воспользуемся формулой Пуассона:

3) Среднее число занятых линий связи

Среднее число занятых линий равно среднему числу вызовов: N=1/л=1/0,8=1,25

4) Определим число линий связи АТС достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала б.

Так как вероятность того, что хотя бы одна линия связи свободна P1(k≥1)=1–P1(4)=1–0,006=0,994 больше чем вероятность безотказного прохождения вызова p=1–б=1–0,05=0,95, то АТС имеет число линий, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0,05.

Необходимо, чтобы

Если число линий связи равно 3, то

Если число линий связи равно 2, то

Таким образом, АТС достаточно иметь 3 линии связи, чтобы вероятность отказа не превышала 0,05.