С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.
Матричный метод решения
Запишем заданную систему в матричном виде:
Если матрица $$A$$ невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу $$X$$ . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу $A^ $ слева:
$$A^ A X=A^ B Rightarrow E X=A^ B Rightarrow$$ $$X=A^ B$$
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.
Примеры решения систем уравнений
Задание. Найти решение СЛАУ $left 5 x_ +2 x_ =7 \ 2 x_ +x_ =9 end right.$ матричным методом.
$$X=left(begin x_ \ x_ end right)=A^ B=left(begin 1 & -2 \ -2 & 5 end right) cdotleft(begin 7 \ 9 end right)=$$ $$=left(begin -11 \ 31 end right) Rightarrowleft(begin x_ \ x_ end right)=left(begin -11 \ 31 end right)$$
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_ =-11, x_ =31$
Ответ. $x_ =-11, x_ =31$
Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $left 2 x_ +x_ +x_ =2 \ x_ -x_ =-2 \ 3 x_ -x_ +2 x_ =2 end right.$
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
где $A=left(begin 2 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 3 & -1 & 2 end right)$ — матрица системы, $X=left(begin x_ \ x_ \ x_ end right)$ — столбец неизвестных, $X=left(begin x_ \ x_ \ x_ end right)$ — столбец правых частей. Тогда $X=A^ B$
Найдем обратную матрицу $X=A^ $ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:
Здесь $Delta=|A|$ — lt a href=»formules_6_11.php» title=»Методы вычисления определителей матрицы: теоремы и примеры нахождения»>определитель матрицы $A$ ; матрица $tilde$ — союзная матрица, она получена из исходной матрицы $A$ заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем $A$ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :
Определитель матрицы $A$
$$Delta=left|begin 2 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 3 & -1 & 2 end right|=2 cdot(-1) cdot 2+1 cdot(-1) cdot 1+1 cdot 0 cdot 3-$$ $$-3 cdot(-1) cdot 1-(-1) cdot 0 cdot 2-1 cdot 1 cdot 2=-4 neq 0$$
Матричный метод решения систем уравнений
2.6 Матричный метод
Основные понятия при работе с матричным методом.
Определение. Матрица – это система элементов (функций, чисел и др. величин), которые расположены в виде прямоугольной таблицы. Общий вид записи матрицы представлен ниже:
Произвольный элемент матрицы обозначается через a ij (элемент i -й строки и j -го столбца). Тем, кто знаком с основами алгоритмизации и программирования, будет проще, если сравнить матрицу с двумерным массивом данных (в частном случае с одномерным массивом). Матрица имеет размерность, определяемую количеством строк и столбцов.
Основными действиями над матрицами являются:
сравнение (для матриц одинаковой размерности):
сложение и вычитание (для матриц одинаковой размерности):
умножение (количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы):
Итак, зная перечисленные формулы, можно смело приступать к их применению, например, при решении СЛАУ вида:
где — заданные числа, а x j — неизвестные.
При решении систем линейных уравнений, как правило, используют следующие методы:
Определение. Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно) [4].
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может.
Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определители получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
Найти значения и возможно только при условии, если .
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера : е сли определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе — определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Как следует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа).
Условия:
Рисунок 1.3 — система имеет одно решение
Второй: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений(система совместна и неопределённа)
Условия: т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Рисунок 1.4 — система имеет бесчисленное множество решений
Третий: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна).
Условия:
Рисунок 1.5 — система не имеет решений
Решим систему линейных уравнений:
Для этого находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы
Определение. Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы [5].
Запишем систему Ax=f, в развернутом виде
Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что . Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i -м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему
Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида
Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.
Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.
Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса..
Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приведшие матрицу А системы к треугольному виду позволяют вычислить определитель матрицы
Метод Гаусса позволяет найти обратную матрицу. Для этого необходимо решить матричное уравнение
где Е единичная матрица. Его решение сводится к решению m систем
у вектора j –я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю.
Для этого выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали), т.е.:
Путем элементарных преобразований из указанной выше матрицы получим:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент а 23 , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система:
Это и есть решение
Преимущества метода Гаусса по сравнению с методом Крамера:
при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
методом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
метод Гаусса основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):
Тогда её можно переписать в матричной форме:
где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице A:
Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице A:
Так как получаем Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является не вырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если
Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма
Решение систем уравнений матричным методом. Ввод формул.
Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций) [7].
Имеем Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, систему n линейных алгебраический уравнений. С n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы системы отличен от нуля.
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом:
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений
В матричной форме исходная система запишется как , где
Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем
следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где — алгебраические дополнения элементов
Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
, или в другой записи
Примет система метод матрицы
Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:
Числа $a_ (i=1..n,j=1..n)$ — коэффициенты системы, числа $b_ (i=1..n)$ — свободные члены.
В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае — неоднородной.
Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.
Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.
Готовые работы на аналогичную тему
Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.
Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.
Описанные выше матрицы имеют вид:
Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $Acdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.
Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.
Примеры решения системы с помощью обратной матрицы
Дана СЛАУ: $left -2x_ +x_ -x_ =3> \ -12x_ -x_ -x_ =7> \ -3x_ +x_ -3x_ =5> end right. $. Записать систему в матричном виде.
Решение:
В случае, когда матрица системы является квадратной, СЛАУ можно решить уравнения матричным способом.
Имея матричное уравнение $Acdot X=B$, можно выразить из него $X$ следующим способом:
$A^ cdot Acdot X=A^ cdot B$
$A^ cdot A=E$ (свойство произведения матриц)
$Ecdot X=X$ (свойство произведения матриц)
Алгоритм решения системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:
- записать систему в матричном виде;
- вычислить определитель матрицы системы;
- если определитель матрицы системы отличен от нуля, то находим обратную матрицу;
- решение системы вычисляем по формуле $X=A^ cdot B$.
Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.
Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.
Дана СЛАУ: $left +3x_ =26> \ +2x_ +x_ =52> \ +2x_ =52> end right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.
Решение:
Нахождение определителя матрицы системы:
$begin & & \ & & \ & & end right|=1cdot 2cdot 0+0cdot 1cdot 3+2cdot (-1)cdot 3-3cdot 2cdot 3-2cdot 1cdot 1-0cdot (-1)cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26ne 0> end $ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.
Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Искомая обратная матрица:
Найдем решение системы:
$X=left(begin \ \ end right)$ — искомое решение системы уравнений.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:
A*X = B.
Сделаем следующее преобразование: A -1 *A*X = A -1 *B,
т.к. А -1 *А = Е, то Е*Х = А -1 *В
Х = А -1 *В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А -1 .
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – = -25 – 10 +5 = -30.
Cделаем проверку:
A*A -1 = =E.
Находим матрицу Х.
Х = = А -1 В = * = .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.