1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:
2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:
Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.
4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:
5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:
Свойства параллельных прямых
Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:
Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:
4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:
wiki.eduVdom.com
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Геометрия:
Контакты
Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)
Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.
Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
х + 30° + х = 180°.
Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.
Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?
Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.
Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.
Найдем остальные углы (рис. 8):
∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.
Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.
Определение параллельных прямых в пространстве
Что такое параллельные прямые в пространстве
Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться. Мы рассмотрим первое свойство.
Впервые теорию о параллельности научно обосновал греческий ученый Евклид в своей работе под названием «Начала».
Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие пересечений друг с другом.
Обозначение параллельных прямых
Сами прямые обозначаются латинскими буквами. Например, l и k. Параллельность обозначается символом: ||
Теорема о параллельных прямых, формулировка
Если любая точка в пространстве не расположена на рассматриваемой прямой, то через нее проводима лишь одна прямая, которая будет параллельна рассматриваемой.
Доказательства закона представим в заключительном разделе статьи.
Типы углов при параллельных прямых
Когда прямая пересекает две другие параллельные друг другу прямые, образуется восемь углов. В геометрии они имеют свои названия и свойства. Для дальнейшего разбора темы этой статьи достаточно разобраться в трех видах. Далее при рассмотрении каждого вида в отдельности ориентируйтесь на рисунок ниже:
Односторонние
На рисунке выше это ∠1 и ∠6, а также ∠4 и ∠7. Они расположены с одной стороны относительно прямых.
Соответственные
Углы 2 и 6, 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8. Их расположения отличается тем, что они как бы разделены между собой одной из прямых.
Накрест лежащие
На данном рисунке это ∠3 и ∠5, ∠2 и ∠8, ∠1 и ∠7, ∠4 и ∠6. Их расположение легко запомнить, так как они размещаются по принципу «крест-накрест».
Условия параллельности
Чтобы доказать параллельность прямых, нужно знать признаки, по которым она определяется. Достаточно соблюдения хотя бы одного из нижеследующих условий.
Накрест лежащие углы равны
Дано: (a;vertvert b) , AB является секущей, углы 1 и 2 — накрест лежащими.
Доказать: равенство ∠1 и ∠2.
Доказательство: допустим, что ∠1 и ∠2 не равные. Тогда проведем угол PAB, причем он будет накрестлежащим с ∠2.
Накрест лежащие углы равны. Из этого следует, что AP (vertvert) b. Но это невозможно, потому что через точку a может проходить только одна прямая, согласно аксиоме, а у нас получилось две — b и A. Поэтому наше предположение неправильное и ∠1=∠2. Ч.т.д.
Соответственные углы равны
∠1 и ∠2 являются соответственными.
MN (vertvert) AD. Доказать, что ( angle NMC=angle BAD) .
Решение: (angle NMC=angle DAC) (как соотв.), а (angle DAC=angle BAD) (AD — биссектриса). Следовательно, (angle NMC=angle BAD) .
Сумма односторонних углов равна 180 градусов
Сумма ∠1 и ∠2 равна 180º
a (vertvert) b, поэтому ∠1=∠3 (соотв.). ∠2+∠3=180º (смеж.). Поэтому при сложении получаем 180º.
Если обе прямые параллельны третьей
Этот признак называют также теоремой о трех параллельных прямых на плоскости. Если a (vertvert) b и c (vertvert) b, то a (vertvert) c.
Есть a (vertvert) b. Допустим, что существует еще c (vertvert) a. Согласно условию, a не пересекает b и наоборот.
В трехмерном пространстве прямые, параллельные третьей, параллельны друг с другом
Здесь то же самое, что в предыдущем пункте: в случае, когда a и c ||, а b и c также ||, то a и b тоже ||.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны
Обозначение перпендикулярных прямых: ⊥
На картинке видно, что a (perp) c и b (perp) c. Отсюда, согласно этому признаку-теореме, следует, что a (vertvert) b.
Допустим, что a (perp) c и b (perp) c, но a не (vertvert;) b. Тогда a и b пересекаются в какой-то точке. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов будет равна 180º+∠C. Но так быть не может. Значит, наше предположение неверно, и a (vertvert) b.
Доказательство параллельности прямых
Ниже представлено доказательство теоремы из первого раздела статьи.
- Есть a (прямая) и М (точка, далее — т.). Она не принадлежит a. Через них проходит плоскость альфа ( (alpha) ). Известно, она единственная.Прямая b проходит через т.М и (vertvert;) а. Она существует, что доказывает аксиома о (;vertvert.)
- Предположим, что существует прямая с, которая тоже проходит через т.М, причем c (vertvert) a. В этом случае потребуется другая плоскость (beta) , такая, чтобы прошла через т.М. Такое невозможно, потому что есть теорема, которая говорит, что плоскость только одна. Значит это одна и та же плоскость ( (alpha) совпала с (beta) ) и одна и та же прямая (b совпал с c). Единственность прямой доказана.
Уравнение параллельной прямой
Если известно, что прямая проходит через какую-то точку с координатами и параллельна другой прямой y=kx+a, то ее уравнение можно найти по формуле:
где k — угловой коэффициент.
Получите помощь лучших авторов по вашей теме
Параллельные прямые. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)
Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.
Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.
Что, безусловно, будет очень полезно.
Читай эту статью – будешь знать о них все!
И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.
ШПОРА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: ( displaystyle aparallel b).
Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: ( displaystyle c).
Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Свойства параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
Признаки параллельных прямых
Определение параллельных прямых
Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.
Принято обозначение:
( displaystyle a//b) – читается как ( displaystyle a) параллельна ( displaystyle b).
Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».
Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:
Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.
На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.
Регистрируйся здесь и приходи!
Аксиома параллельных прямых
Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Смотри: через любую точку ( displaystyle A) проходит только одна прямая ( displaystyle b), которая параллельна ( displaystyle a), все остальные будут пересекать прямую ( displaystyle a).
Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…
Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.
В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.
А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.
Ну вот, а теперь возникает два вопроса:
Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».
Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.
Термины. Секущая. Внутренние и внешние углы
Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)
Получается куча углов. Целых ( displaystyle штук.
Приняты такие названия этих углов:
( displaystyle angle 4) и ( displaystyle angle 6) называются внутренними накрест лежащими углами
( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle5) – тоже внутренние накрест лежащие углы.
Название говорит само за себя: ( displaystyle angle 4) и ( displaystyle angle 6), так же, как и ( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle5) лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
( displaystyle angle 5) и ( displaystyle angle 4) (а еще ( displaystyle angle 6) и ( displaystyle angle 3)) называются внутренними односторонними углами.
Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми ( displaystyle a) и ( displaystyle b).
( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle (а еще ( displaystyle angle 2) и ( displaystyle angle 7)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)
И последнее название: соответственные углы.
Обрати внимание, ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 5) лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B). То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.
Свойства параллельных прямых
Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если ( displaystyle a//b), то что?
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.
А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.
Признаки параллельных прямых
То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?
Если две прямые (( displaystyle a) и ( displaystyle b)) пересечены третьей и оказалось, что
то прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) – параллельны
Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.
Смотри-ка, вот схема:
Его автор, Алексей Шевчук, ведет курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.
Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.
До 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.
КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Григорий
09 мая 2018
спасибо за подробную информацию!
Александр (админ)
09 мая 2018
Пожалуйста, Григорий! Приходи еще и делись инфой с друзьями!
Александр
27 июня 2018
Спасибо , очень помогает.
Александр (админ)
27 июня 2018
Пожалуйста, Александр. Мы рады!))
Елена
03 июля 2018
Класс. Всё просто, понятно и наглядно. Легко усвоилось. Спасибо. Очень нужная информация.
Александр (админ)
03 июля 2018
Отлично, Елена, что так помог наш текст. Делись им с друзьями, окажешь услугу и им и нам! И удачи на экзамене.
Алексей
17 сентября 2018
очень понятно! Спасибо-о-о-о-о-о-о-о
Александр (админ)
17 сентября 2018
Очень рады, Алексей! Спасибо и тебе.
Никита
25 декабря 2018
Спасибо огромное. Кстати мне помогло в школе
Александр (админ)
25 декабря 2018
Пожалуйста, Никита! Нам очень приятно.
Виктор
09 февраля 2020
Весь материал полезен , но практически все можно найти в школьном учебнике. А вот это замечание : «…но эти геометрии уже оказываются не геометриями на плоскости, а геметриями на каких-то хитрых поверхностях.» — очень уместно. Сколько приходилось знакомиться с геометрией Лобачевского, везде авторы избегают этого разъяснения, а ведь оно сразу снимает все вопросы, возникающие у дилетанта.
Александр (админ)
09 февраля 2020
Спасибо, Виктор.