Пример 1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Решение. Пусть событие A= , событие B= , событие C= . Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию , . Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность .
Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 красных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 красных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где событие A= , событие B= . При этом A и B – независимые события. Имеем , . По теореме умножения для независимых событий (см. (6)) находим .
Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?
Решение. Пусть событие = , =1, 2, 3, 4. События — совместные, но зависимые.
А) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов
Б) по формулам (9) и (5) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов
Пример 4. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.
Решение. А) Пусть событие A состоит в том, что будет три попадания в цель. Событие A представляет собой произведение трех событий: , где — попадание в цель при -м выстреле, . События — независимые. По теореме умножения для независимых событий (см. (7)) .
Б) Пусть событие B состоит в том, что будет хотя бы одно попадание в цель при трех выстрелах (т. е. не менее одного попадания в цель). Событие — сложное событие. События — совместные, а потому использовать аксиому сложения для вычисления вероятности события B нельзя. Представим событие B в виде суммы несовместных событий (вариантов):
По теореме умножения для независимых событий можно найти вероятность каждого варианта и все эти вероятности сложить в соответствии с аксиомой сложения. Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Целесообразнее от события B перейти к противоположному событию = . Учитывая, что событие , по теореме умножения для независимых событий (см. (7)), найдем , откуда .
На этом примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей.
Пример 5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий -0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
Решение. Пусть событие = , =1, 2, 3. События совместные и независимые. По условию ; ; . Событие B= : . Найдем вероятность события B. Для этого от события B перейдем к противоположному событию : , воспользовавшись формулой (9), найдем:
Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.
Решение. а) Обозначим события: = , 1,2,3; B = . Очевидно, что событие B представляет собой совместное наступление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены, т. е. . Учитывая, что события независимы, получим .
Б) Пусть событие C = . Очевидно, что событие C можно представить в виде суммы трех несовместных событий: .
По аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий .
В) Пусть событие E = , т. е. . Тогда по формуле (7) .
Г) Пусть событие F = (т. е. хотя бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Ясно, что событие F означает сдачу любых двух экзаменов из трех, либо всех трех экзаменов. Представим событие F в виде суммы несовместных событий: .
Тогда по аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий найдем .
Д) Пусть событие K – студент сдал хотя бы один экзамен (т. е. не менее одного экзамена). От прямого события K перейдем к противоположному событию и воспользуемся формулой (2.7). Тогда
Т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.
Решение: Случайная величина X число вызовов корреспондента-может принимать значения 1, 2, 3, 4, Обозначим событие А
Главная > Решение
| Информация о документе |
| Дата добавления: |
| Размер: |
| Доступные форматы для скачивания: |
Лабораторная работа №3
Нахождение характеристик случайных величин
Радист вызывает корреспондента, причем, каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если число вызовов не более 5.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение: Случайная величина X — число вызовов корреспондента—может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим событие А i — i-й вызов принят (i = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда вероятность того, что первый вызов принят, P(X=l)=P(A 1 )=0,4.
Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не принят, т. е. i
Пятый вызов при любом исходе (будет принят, не принят)— последний. Поэтому
(Вероятность Р(Х=5) можно найти и иначе, учитывая, что последний вызов будет или принят, или нет, т.е.
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
Вычислим математическое ожидание:
Так как М(Х) — нецелое число, то находить дисперсию D(X) проще не по основной формуле, а по формуле
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего —0,75 и для четвертого — 0,7. Составить закон распределения случайной величины X — числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
Решение . Пусть А к () — событие, состоящее в том, что к-й станок не потребует (потребует) внимания рабочего в течение часа. Тогда, очевидно:
т.е. закон (ряд) распределения случайной величины X имеет вид:
Дана функция распределения случайной величины X:
а) Найти плотность вероятности (х); б) построить графики (х) и F(x); в) убедиться в том, что X — непрерывная случайная величина; г) найти вероятности Р(Х=1), Р(Х Решение , а) Плотность вероятности
б) Графики (х) и F(х) изображены на рис. 3.20 а и б.
в) Случайная величина X— непрерывная, так как функция распределения F(X) непрерывна, а ее производная — плотность вероятности (х) — непрерывна во всех точках, кроме одной (х = 2);
г) P(X=1) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.
Плотность вероятности (х) максимальна при х=2 (см. рис. 3.20а), следовательно, Мо(Х)=2.
Радист вызывает корреспондента вероятность того что корреспондент примет вызов
Цитата: upuco4ka написал 21 июня 2009 12:03
Торговая база получила 10000 электрических лампочек.Вероятность повреждения ламп в пути 0, 0001. Определить вероятность того, что в пути повреждено 4 электролампочки.
a = np = 10000*(0.0001) = 1
По формуле Пуассона
P(m=4) = (1^4)(e^(-1))/(4!) = (e^(-1))/24
Цитата: upuco4ka написал 21 июня 2009 13:26
Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, чтопредыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов равна 0,3, второй 0,4 и третий 0,5. Определить вероятность вызова корреспондента.
Цитата: upuco4ka написал 21 июня 2009 14:06
RKI, а как ты нашла значение е в формуле Пуассона?
Это известная константа в математике
Называется число Эйлера
e
Цитата: NCh написал 21 июня 2009 12:19
«Блин, очень толковая книжка, 10-е! издание, миллионы читателей, и такое»
Вариант «прочитать и понять» материал не рассматривался?
Радист вызывает корреспондента вероятность того что корреспондент примет вызов
1)Из карточной колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекли 2 карты. Найти вероятность того, что обе карты окажутся одинаковой масти.
2)Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов = 0,2, второй 0,3, третий 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
3)Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия =0,6. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – возможного числа попадания в объект. Составить функцию распределения, построить график функции распределения, найти числовые характеристики ДСВ и построить полигон распределения.
2)Торговый агент предлагает клиентам иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем 1 из 65 клиентов, которым он предлагает книгу, покупают ее. В течении некоторго промежутка времени он предложил книгу 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст хотя бы одну книгу?
3) В магазин вошли три покупателя. Вероятность для каждого сделать покупку равна 0,3. найти вероятность того, что:
а) сделают покупку два из них
б) все троя
в) ни один ничего не купит
г) хотя бы один сделает покупку
Решение.
Испытание состоит в вызове корреспондента. Исходом испытание может быть то, что корреспондент услышал вызов, или не услышал.
Событие А — корреспондент услышал вызов радиста (т.е. хотя бы один вызов был принят).
А1 – принят первый вызов. Р(А1)=0.2
А2 – принят второй вызов. Р(А2)=0.3
А3 – принят третий вызов. Р(А3)=0.4
Найдем вероятности событий, противоположных событиям А1,А2,А3. (т.е. вероятности того, что вызовы не будут приняты).
Искомая вероятность Р(А)=1- q(А1) q(А2) q(А3)=1-0.8*0.7*0.6=1-0.336=0.664.
Ответ: Вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста = 0.664.
Решение
Испытание состоит в извлечении наудачу 2 карт из 36.
Исходом испытания может быть то, что обе извлеченные карты одной масти, или то, что они разных мастей.
Событие А – обе извлеченные карты одинаковой масти.
Для биномиального распределения математическое ожидание равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании.
M(x)=np=3.6
Найдем дисперсию случайной величины Х:
D(x)=npq=1.44
Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:
корень(D(x))=1.2.