Задача 1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?
Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем — любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т. е. n1=30, n2=29, n3=28. По правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.
Задача 2. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
Решение. Первое письмо имеет n1=2 альтернативы – либо его относит к адресату первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть n2=2 альтернативы и т. д., т. е. n1=n2=…=n10=2. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределений писем между двумя почтальонами равно
Задача 3. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта – n2=50 способами. По правилу суммы существует N=n1+n2=30+50=80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.
Задача 5. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно
Задача 6. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?
Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций, как составом, так и их порядком. Так как каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:
Задача 7. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т. е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно
Задача 8. В условиях задачи 6 определить, сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы?
Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле
Задача 9. Садовник должен в течении трех дней посадить 6 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
Решение. Предположим, что садовник сажает деревья в ряд, и может принимать различные решения относительно того, после какого по счету дерева остановиться в первый день и после какого – во второй. Таким образом, можно представить себе, что деревья разделены двумя перегородками, каждая из которых может стоять на одном из 5 мест (между деревьями). Перегородки должны стоять там по одной, поскольку иначе в какой-то день не будет посажено ни одного дерева. Таким образом, надо выбрать 2 элемента из 5 (без повторений). Следовательно, число способов .
Задача 10. Сколько существует четырехзначных чисел (возможно, начинающихся с нуля), сумма цифр которых равна 5?
Решение. Представим число 5 в виде суммы последовательных единиц, разделенных на группы перегородками (каждая группа в сумме образует очередную цифру числа). Понятно, что таких перегородок понадобится 3. Мест для перегородок имеется 6 (до всех единиц, между ними и после). Каждое место может занимать одна или несколько перегородок (в последнем случае между ними нет единиц, и соответствующая сумма равна нулю). Рассмотрим эти места в качестве элементов множества. Таким образом, надо выбрать 3 элемента из 6 (с повторениями). Следовательно, искомое количество чисел
Задача 11. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы А, В и С по 6, 9 и 10 человек соответственно?
Решение. Здесь n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Согласно формуле, число таких разбиений равно
Задача 12. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?
Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места ставится цифра «4», на другие места – цифра «5», а на третьи места – цифра «6». Таким образом, множество состоит из 7 элементов (n=7), причем n1=3, n2=2, n3=2, и, следовательно, количество таких чисел равно
2. Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность
Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?
Решение. Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок фруктов безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным (и бесповторным). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 фрукта из 9, т. е. числу сочетаний . Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора 3 апельсинов из имеющихся 5, т. е. . Тогда искомая вероятность
Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.
Решение. Вначале подсчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел и имеет n1=10 возможностей, второй тоже имеет n2=10 возможностей, наконец, третий также имеет n3=10 возможностей. В силу правила умножения общее число способов равно: n= n1´n2´n3=103 = 1000, т. е. все пространство содержит 1000 элементарных исходов. Для вычисления вероятности события A удобно перейти к противоположному событию, т. е. подсчитать количество тех случаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет m1=10 способов выбора числа. Второй студент имеет теперь лишь m2=9 возможностей, поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало с задуманным числом первого студента. Третий студент еще более ограничен в выборе — у него всего m3=8 возможностей. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, равно m=10×9×8=720. Случаев, в которых есть совпадения, остается 280. Следовательно, искомая вероятность равна Р=280/1000= 0,28.
Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.
Решение. Событие А= . Из условия задачи следует, что в числе пять различных цифр, одна из них повторяется. Число способов её выбора равно числу способов выбора одной цифры из 10 цифр. Эта цифра занимает любые 4 места в числе, что возможно сделать способами, так как порядок здесь не важен. Оставшиеся 4 места занимают различные цифры из неиспользованных девяти, и так как число зависит от порядка расположения цифр, то число способов выбора четырех цифр равно числу размещений . Тогда число благоприятствующих исходов . Всего же способов составления 8-значных чисел равно |W|=108. Искомая вероятность равна
Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
Решение. Рассмотрим противоположное событие , состоящее в том, что в каждую из 5 фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились 2 клиента, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей . Общее количество способов распределить 6 клиентов по 5 фирмам . Отсюда . Следовательно, .
Задача 5. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N–M черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров.
Решение. Так как порядок элементов здесь несущественен, то число всех возможных наборов объема n из N элементов равно числу сочетаний . Число испытаний, которые благоприятcтвуют событию А – «m белых шаров, n–m черных», равно , и, следовательно, искомая вероятность равна Р(А)=.
Задача 6. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в отрезок [0,5; 1,4]?
Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок , а множество благоприятствующих исходов , при этом длины этих отрезков равны и соответственно. Поэтому
Задача 7 (задача о встрече). Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
Решение. Обозначим момент прихода лица А через х и лица В – через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы ôх-уô£20. Изобразим х и у как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 60, а благоприятствующие встрече располагаются в заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (рис. 2.1) к площади всего квадрата: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
3. Основные формулы теории вероятностей
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A= можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как событияи не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:
Задача 3. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А= , B= . Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
Задача 4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
Решение. Событие А= означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где = и = . Очевидно, что вероятность события А1 равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения
Задача 5. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A= можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем: .
Задача 6. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Решение. Обозначим через гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
Пусть событие A= . Тогда снова в силу условия задачи
По формуле полной вероятности получаем:
Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
Решение. Пусть событие G – появление годной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами А, B, С, равны сответственно Р(А)=0,5, Р(В)=0,3, Р(С)=0,2. Условные вероятности появления при этом годной детали равны Р(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (как вероятности противоположных событий к появлению бракованной). По формуле полной вероятности получаем:
Задача 8 (см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т. е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?
Решение. Вероятность получить «неуд» равна . Требуется вычислить условные вероятности. По формулам Байеса получаем:
Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.
4. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли
Задача 1. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».
Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле .
Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:
Р(А) = Р6(0) + Р6(1) + Р6(2) = .
Задача 3. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
Решение. Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т. е.
Задача 4. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть Am — событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий Am (см. таблицу):
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1 Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятносте.
Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью, обозначается и вычисляется:
Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Формула (2.4.) может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое событие произошло:
Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности всех последующих событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события наступили.
Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий , равна разности между единицей и вероятностью произведения всех противоположных событий
Примечание. Приступая к решению задач на вычисление вероятностей сложных событий, рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1) обозначить буквами все события, о которых идет речь в условии задачи;
2) выяснить, совместны или несовместны, зависимы или независимы обозначенные события;
3) выразить сложное событие, о котором идет речь в вопросе задачи, через обозначенные события;
4) выбрать формулу для вычисления нужной вероятности.
Пример 2.1. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий окажется: а) только одно изделие высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) все три изделия высшего сорта.
4Обозначим события:
Пример 2.2.Студент выучил 20 вопросов из 30. Для сдачи зачета необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех заданных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
Построим событие А = :
Слагаемые в правой части этого выражения являются совместными, но А можно записать и в виде суммы несовместных слагаемых:
Согласно формул (2.3) и (2.6) будем иметь:
Пример 2.3.На трех этапах подготовки прибора к работе вероятности появления независимых друг от друга задержек соответственно равны 0,1; 0,06; 0,05. Какова вероятность того, что прибор будет подготовлен к работе без задержек?
4 Обозначим события:
Тогда и согласно формуле (2.5)
Пример 2.4. Производится наблюдение за группой состоящей из трех одинаковых объектов. Вероятности обнаружения первого, второго и третьего объектов соответственно равны 0,6 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что обнаружен хотя бы один объект.
4Обозначим события:
По формуле вычисления вероятности появления хотя бы одного события 3
Пример 2.5.Над изготовлением изделия работают трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Вероятности того, что первый, второй и третий рабочий допустят брак, соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Найти вероятность изготовления изделия без брака.
4 Обозначим события: — i –й рабочий допустил брак — совместне, независимые.
2.2. Формула полной вероятности. Формулы гипотез (Бейеса).
Пусть событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу и называемых гипотезами. Вероятности гипотез предполагаются известными, причем . Тогда вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошла i – тая гипотеза, т.е.
Это равенство называют формулой полной вероятности.
Если событие А произошло, то вероятности гипотез изменятся и могут быть переоценены по формулам Бейеса:
где вычисляется в соответствии с формулой (2.8).
Пример 2.6. В продажу поступили однотипные изделия с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% изделий с дефектом, второго – 8% и третьего 15%. Какова вероятность приобрести изделие с дефектом, если в магазин поступило 30% изделий первого завода, 50% изделий второго завода и 20% — третьего?
Событие А может произойти совместно с одной из гипотез Н , Н или Н , причем
Вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
Пример 2.7. В группе из 12 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 3 – посредственно и 2 – плохо. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Вычислить вероятность того, что наугад вызванный студент ответит на заданный вопрос.
По формуле полной вероятности находим:
Пример 2.8. При условии задачи 2.7 определить вероятность того, что студент, ответивший на заданный вопрос, был подготовлен посредственно.
4 Поскольку событие А произошло (студент ответил на заданный вопрос), то вероятность события Н3 изменится и может быть вычислена по формуле Бейеса:
Пример 2.9. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55; а ко второму – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед.
4 Обозначим события:
Так как событие А произошло, вероятность можно вычислить по формуле Бейеса: . 3
Задачи
2.1. Строительная фирма с вероятностью 0,6 может заключить контракт на строительство здания. Согласно контракту, заказчик может произвести оплату одним из 3-х способов: одноразово, равными частями в течение года и с отсрочкой платежа на два года. Вероятности того, что оплата будет произведена первым, вторым или третьим способами, соответственно равны: 0,2; 0,35; 0,4. Определить вероятности того, что фирма: а) получит оплату; б) получит оплату не позже, чем через год; в) не получит оплату.
Ответ: а) 0,95; б) 0,55; в) 0,05.
2.2. Производственная фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью она должна в течение трех лет вносить в банк определенные суммы. Вероятности того, что нужные суммы удастся внести в 1-й, 2-й и 3-й год, соответственно равны: 0,6; 0,4; 0,5. Найти вероятность того, что инвестиционный фонд будет создан.
2.3. На некотором предприятии 96% изделий признается годными. Из каждой сотни годных изделий в среднем 75 оказывается первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.
2.4. По займу ежегодно разыгрываются 6 основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном — 230 серий. Найти вероятность выигрыша на одну облигацию за первые десять лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.
Ответ: а) 0,102; б) 0,023; в) 0,125
2.5. Производившиеся в некотором районе многолетние наблюдения показали, что из 100 000 детей, достигших 10-ти летнего возраста, до 40 лет доживает в среднем 82 277, а до 70 лет — 37977. Найти вероятность того, что если человек достигнет сорокалетнего возраста, то он доживет до 70 лет.
2.6. Из 10 билетов лотереи выигрышных два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов: а) один выигрышный; б) хотя бы один выигрышный.
2.7. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9 для второго 0,8 и для третьего 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует к себе внимания рабочего.
2.8. Вытачивается деталь в виде прямоугольного параллелепипеда. Деталь считается годной, если длина каждого из ребер отклоняется от заданных размеров не более чем на 0,01 мм. Вероятность отклонений, превышающих 0,01 мм, составляет: по длине 0,08; по ширине 0,12; по высоте 0,1 мм. Найти вероятность непригодности детали.
2.9. Вероятность того, что изделие некоторого производства удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощенная схема испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, и 0,05 для изделий, которые ему не удовлетворяют. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?
2.10. Монету бросают до тех пор, пока не появится два герба подряд или две решетки. Найти вероятность того, что понадобится не более трех бросков.
2.11. Страховая компания установила, что в среднем один из 1000 векселей не подлежит оплате и обязательно является просроченным. Так же известно, что один вексель из 100 подлежащих оплате, просрочен. Компания получила просроченный вексель. Какова вероятность того, что он не подлежит оплате?
2.12. На железнодорожную станцию поступает состав из 20 вагонов, направляемых в различные адреса. В первый адрес направляется 5, во второй ‑ 7, а в третий ‑ 8 вагонов соответственно. Вагоны в составе расположены произвольно. Все места вагонов равновероятны. Найти вероятность того, что все вагоны, направляемые в один и тот же адрес, будут стоять рядом.
2.13. В партии из 10 деталей 4 дефектных. Для контроля берут 4. Если среди них окажется более 2 дефектных, то вся партия бракуется. Найти вероятность того, что вся партия будет забракована.
2.14. Студент выучил 20 вопросов из 30. Для сдачи зачета необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех заданных. Какова вероятность того, что он сдаст зачет?
2.15. На полке библиотеки стоят 20 книг. 7 из них – учебники по теории вероятностей. Найти вероятность того, что а) из трех выданных книг не менее двух – учебники по теории вероятностей; б) хотя бы одна выданная книга – учебник по теории вероятностей.
Ответ: а) 0,27; б) 0,025.
2.16. В лотерее 25 билетов, из которых 6 – выигрышных. Какова вероятность получения выигрыша, имея 3 билета? (Подумайте, что означает выигрыш?)
2.17. Система, фиксирующая процесс ценообразования, представлена на схеме. Вероятность выхода из строя каждого элемента равна 0,1. Найти вероятности: а) безотказной работы системы; б) выхода .системы из строя.
Ответ: а) 0,975; б) 0,025.
2.18. Пяти радиостанциям разрешено работать на семи радиоволнах. Выбор волны производится случайно. Найти вероятность того, что при работе всех пяти радиостанций будут использованы различные волны.
2.19. Из полного набора костей домино (28) выбирают 5. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы 2 шестерки.
2.20. Получена партия из восьми изделий одного образца. По данным проверки половины партии, три изделия оказались технически исправными, а одно бракованным. Вычислить вероятность того, что при проверке трех следующих изделий одно из них окажется исправным, а два – бракованными. Предположения о любом количестве бракованных изделий в партии равновозможны.
2.21. Найти вероятность прохождения сигнала через системы, если вероятность безотказной работы каждого из элементов равна 0,9- для первой схемы и 0,2 – для второй.
Ответ: 0,993- для перовой схемы и 0,063 – для второй.
2.22. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03 и на третьей 0,01. Найти вероятность получения детали без брака после этих трех операций, если получение детали без брака на каждой операции – независимые события.
2.23. Из цифр 1, 2, 3, 4, и 5 выбирается одна, а из оставшихся –другая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра а) первый раз; б)второй раз; в) оба раза.
Ответ: а) 0,6; б) 0,5; в) 0,3.
2.24. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса.
Ответ: а) 0,648; б) 0,953.
2.25. Двое поочередно бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
2.26. Трое поочередно бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
2.27. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью 0,8, а третий для принятия решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,8. Кто с большей вероятностью примет правильное решение: жюри или судья?
Ответ: С одинаковой вероятностью.
2.28. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, можно было надеяться, что хотя бы один раз появится 12 очков?
2.29. Имеются две партии деталей по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одна деталь — бракованная. Деталь, взятую наугад из первой партии, переложено во вторую, после чего взята деталь из второй партии. Найти вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
2.30. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других ‑ все доброкачественные?
2.31. Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, может находиться в шести различных интервалах с вероятностями: 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,9. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.
2.32. Для посева заготовлены семена пшеницы первого сорта, смешанные с небольшим количеством примесей зерен второго, третьего и четвертого сортов. Вероятности того, что наудачу взятое зерно окажется того или иного сорта известны и равны соответственно: 1 сорта ‑ 0,96; 2 сорта ‑ 0,01; 3 сорта ‑ 0,02; 4 сорта ‑ 0,01. Вероятность того, что из зерна вырастит колос, содержащий не менее 50 зерен, равна: 0,50 для зерна 1-го сорта, 0,15 для зерна 2-го сорта, 0,20 для зерна 3-го сорта и 0,05 для зерна 4-го сорта. Найти вероятность того, что колос будет иметь не менее 50 зерен.
2.33. Вероятность того, что в некотором производстве изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощенная схема испытаний, которая для изделий, удовлетворяющих стандарту, дает положительный результат с вероятностью 0,98, а для изделий ему не удовлетворяющих ‑ лишь с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, дважды выдержавшее упрощенное испытание, удовлетворяет стандарту?
2.34. Из первой урны взят шар и опущен во вторую, в которой есть 1 белый и 1 черный шары. После этого из второй урны наугад извлечен 1 шар. Какова вероятность, что он белый?
2.35. Из первой урны, содержащей 1 шар, взят шар и опущен во вторую, в которой есть 1 белый и 1 черный шары. После этого из второй урны наугад извлечен 1 шар. Он оказался белым. Какого цвета шар был в первой урне наиболее вероятно?
2.36. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или с третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9% — третью и 7,9% — четвертую группу крови. а) Найдите вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
2.37. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс (мало рискует), класс (рискует средне), класс (рискует сильно). Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежит к классу , 50% — к классу и 20% — к классу . Вероятность того, что в течение года водитель класса хотя бы в одну аварию равна 0,01, для водителя класса эта вероятность равна 0,02, а для водителя класса — 0,08. Водитель страхует свою машину и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу ? К классам или ?
Ответ: 0,103; 0,35; 0,55.
2.38. Из двух близнецов первым родился мальчик. Какова вероятность того, что вторым родится тоже мальчик, если среди близнецов вероятность рождения 2 мальчиков и 2 девочек соответственно равна p и q, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова?
2.39. Известно, что 96% выпускаемой заводом продукции отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль отвечает стандарту.
2.41. В игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.
2.42. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку отправляют 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажутся, по крайней мере, 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные шансы поехать в командировку?
2.43. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Ответ: а) 0,032, б) 0,316.
2.44. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток, чтобы открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.
2.45. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В– 3,5%. Годная продукция завода 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции не имеющей дефекта А встретится дефект В; б) среди продукции, забракованной по дефекту А встретится дефект В.
Ответ: а) 0,0104; б) 0,625.
2.46. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 для каждого пакета. Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?
Ответ: Не менее 5 пакетов.
2.47. Из n экзаменационных билетов студент подготовил только m (m
Дата добавления: 2018-05-13 ; просмотров: 2332 ; Мы поможем в написании вашей работы!