Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать значения на некотором интервале. Непрерывная случайная величина считается заданной, если известен вид ее функции распределения вероятностей или функции плотности вероятности.
Функцией распределения вероятностей случайной величины называют функцию одной переменной f такую, что f(x)=P(X
3. Для функции плотности справедливо условие нормировки: .
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число , при условии, что интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называют число
если интеграл правой части сходится. Для дисперсии непрерывной случайной величины X справедливо равенство: .
Непрерывную случайную величину X называют нормально распределенной с параметрами a и (a, – постоянные, ), если ее плотность распределения имеет вид , где a – математическое ожидание, – стандартное отклонение случайной величины : M(X)=a, =σ. Функция распределения случайной величины X с нормальным законом распределения, имеет вид: . Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону с параметрами a и σ, примет значение, принадлежащее интервалу (x1,x2), вычисляют по формуле: .
Пример 1. Случайная величина X задана плотностью вероятности . Найдите коэффициент c; вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1).
Решение. Коэффициент можно найти из условия нормировки: . В нашем случае:
Вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1), вычисляют по формуле .
Пример 2. Предполагая, что pH крови человека подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием a=7,4 и стандартным отклонением σ=0,2, найдите вероятность того, что у произвольно выбранного человека уровень pH находится между 7,3 и 7,5.
Решение. Случайная величина X – уровень pH крови – имеет нормальное распределение. Искомая вероятность будет равна:
7.5.22. Случайная величина X задана функцией распределения Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение от 0 до 2. Ответ: 0,5.
7.5.23. Случайная величина X задана функцией распределения
Найдите плотность распределения вероятностей, постройте графики функции распределения и функции плотности.
7.5.24. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности: Найдите M(X). Ответ: 2.
7.5.25. Задана функция плотности вероятности:
случайной величины X. Найдите: а) коэффициент c; б) вероятность того, что случайная величина X примет какое-либо значение, большее 1; в) математическое ожидание и дисперсию X Ответ: 0,5; 0,75; 4/3; 2/9.
7.5.26. Задана функция плотности вероятности случайной величины X: Найдите c и вероятность того, что –π/4≤ X ≤π/4. Ответ: 0,5; √3/2.
7.5.27. Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами a=30, σ=20. Найдите вероятность того, что X примет значение от 10 до 50. Ответ: 0,9544.
7.5.28. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a=0, σ=1. Найдите выражение для функции плотности вероятности φ и функции распределения f. Найдите вероятность события 1,25≤X≤2,55. Ответ: φ(x)= , f(x)=0,5+Ф(x), 0,0934.
7.5.29. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид φ(x)=c . Найдите константу c, стандартное отклонение σ, функцию распределения f, вероятность события 2≤X≤5. Ответ: c= , σ=3, f(x)=0,5+ , 0,3413.
7.5.30. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчиняются нормальному закону с параметрами a=20 км, σ=100 м. Найдите вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) от 19 до 22 км; б) не менее 18 км; в) не более 21 км. Ответ: 1; 1; 1.
7.5.31. Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и стандартным отклонением 2 т. Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превышает 70 т. Ответ: 0,9938.
7.5.32. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что она примет какое-нибудь значение из промежутка [10;20], равна 0,3. Найдите вероятность того, что она примет какое-либо значение, большее 13. Ответ: 0,41.
7.5.33. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределен по нормальному закону с параметрами a=8 см, σ 2 =0,49 см 2 . Найдите вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 7 до 10 см; б) отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 1 см. Ответ: 0,92; 0,85.
7.5.34. Найдите вероятность того, что значение непрерывной нормально распределенной случайной величины окажется в интервале: а) (a–2σ, a+2σ), б) (a–3σ, a+3σ), где a – математическое ожидание, σ — стандартное отклонение этой величины. Ответ: 0,9545; 0,9973.
7.5.35. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a =164 см и σ=5,5 см. Найдите интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключен рост взрослой женщины. Ответ: (153 см; 175 см).
7.5.36. Длина куска обоев в рулоне – случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 18 м и дисперсией 0,09 м 2 .В каких границах с вероятностью 0,9545 заключена длина куска в случайно выбранном рулоне обоев? Ответ: (17,4 м; 18,6 м).
7.5.37. Известно, что вес некоторых плодов, выращиваемых в совхозе, подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 175г и Определить вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) заключен в пределах от 125 до 250г; б) не менее 250г; в) не более 300г.
7.5.38. Случайная величина Х-время ожидания отправления груза – имеет равномерное распределение на отрезке [0;20]. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, и вероятность того, что ?
7.5.39. Плотность распределения вероятности некоторой случайной величины дается соотношением
Найти функцию распределения.
10.5.40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
Требуется найти: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (1/2, 1); в) построить графики функций F(x) и f(x).
10.5.41. Длина стебля некоторого растения – нормально распределенная случайная величина со средним значением 75 см и средним квадратическим отклонением 20 см. Определить сколько процентов растений будут иметь длину стебля не менее 60 см?
10.5.42. Средняя глубина посева семян составляет 4см; отдельные отклонения от этого значения случайны, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,6 см. Определить: 1) долю семян, глубина посева которых будет отклоняться от среднего значения не более, чем на 1см; 2) во сколько раз измениться эта величина, если среднее квадратическое отклонение увеличится в 1,5 раза?
Закон больших чисел.
Неравенство Маркова. Если — случайная величина, принимающая неотрицательные значения, и — математическое ожидание случайной величины , тогда для любого положительного числа имеют место неравенства:
P(X≥α)≤ , P(X≤α) ≥1– .
Неравенство Чебышева. Если имеется случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией , то для любого выполняется неравенство P(|X–M(X)| 2 =40000. а) Воспользуемся неравенством Маркова при α=2000: P(X≤2000) ≥1– =0,5. б) Учитывая, что M(X)=1000, перейдем от неравенства 0≤X≤2000 к неравенству –1000≤X–1000≤1000, то есть |X–1000|≤1000. Используем неравенство Чебышева при ε =1000: P(|X–1000| 2 =794624,
2) Для того, чтобы найти доверительный интервал для генеральной доли, найдем долю рабочих в выборке, у которых заработная плата не менее 3000 рублей:
предельная ошибка выборки Δ=t , где t найдем из условия P=Ф(t)=0,869, откуда t=1,51, а величина
Следовательно, Δ=1,51∙0,49≈0,07, а доверительный интервал имеет границы (ω–Δ;ω+Δ)=(0,8–0,07;0,8+0.07)=(0.73;0,87).
1) Необходимый объем выборки , где ; по условию P=Ф(t)=0,9011, значит t=1,65; Δ=150. Имеем , (человек).
8.1. Для определения средней зарплаты 1000 учителей города было отобрано выборочным путем 100 учителей. Полученное при обследовании распределение приведено в таблице:
| Зарплата, тыс.руб | 500 – 1000 | 1000 — 1500 | 1500 — 2000 | 2000 –2500 | 2500 — 3000 | Свыше 3000 | Итого |
| Число учителей |
Найти: 1) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена средняя зарплата учителей города; 2) определить, каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы можно было гарантировать с вероятностью 0,99? 3) вероятность того, что в данном городе доля учителей, зарплата которых более 2000 рублей, отличается от доли таких учителей в выборке не более, чем не 5% . (Выборка бесповторная).
8.2. Результаты обследования 50 человек из группы мигрирующего населения по их возрасту приведены в таблице:
| Возраст мигрирующего населения, лет | До 30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | Свыше 60 | Итого |
| Количество человек |
Найти: 1) границы, в которых с вероятностью 0,9949 заключен средний возраст всего мигрирующего населения, если объем генеральной совокупности велик по сравнению с объемом выборки; 2) вероятность того, что доля мигрантов в возрасте до 40 лет в выборке отличается от доли их во всей генеральной совокупности не более, чем на 0,05 (по абсолютной величине).
8.3. С земельного массива в 8000 га путем бесповторного отбора получены данные об урожайности гречихи:
| Урожайность, ц/га | 11-12 | 12-13 | 13-14 | 14-15 | 15-16 | 16-17 | Всего |
| Число га |
Найти: 1) вероятность того, что средняя урожайность на всем массиве отличается от средней выборочной не более, чем на 0,08 ц/га (по абсолютной величине); 2) границы, в которых с вероятностью 0,9512 заключена доля гектаров с урожайностью не менее 14 ц; 3) каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,992 гарантировать те же границы для доли гектаров с урожайностью не менее 14 ц.
8.4. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 студентов из 500 обучающихся и получены следующие данные о времени решения задачи по теории вероятностей:
| Время решения задачи, мин | 5-8 | 8-11 | 11-14 | 14-17 | 17-20 | Итого |
| Количество студентов |
Найти: 1) вероятность того, что среднее время решения задачи в выборке отличается от времени решения задачи во всей генеральной совокупности не более чем на 1 мин (по абсолютной величине); 2) число студентов, которое нужно отобрать в выборку, чтобы то же отклонение гарантировать с вероятностью 0,9876; 3) границы, в которых с вероятностью 0,9596 заключена доля студентов, решавших задачу не более 11 мин.
8.5. С лесного массива, насчитывающего 20 000 взрослых деревьев, с помощью выборочного метода были получены следующие данные:
| Количество деловой древесины, м3 | 0,4-0,6 | 0,6-0,8 | 0,8-1,0 | 1,0-1,2 | 1,2-1,4 | 1,4-1,6 | Итого |
| Число деревьев |
Найти: 1) вероятность того, что среднее количество древесины в одном дереве во всем лесном массиве и в выборке отличается по абсолютной величине не более чем на 0,02 м 3 ; 2) границы, в которых с вероятностью 0,992 заключено среднее количество деловой древесины в дереве; 3) определить, каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы можно было гарантировать с вероятностью 0,899?
Непрерывные случайные величины
( НСВ )
Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно занимают некоторый интервал.
Если дискретная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей, то непрерывную случайную величину, возможные значения которой сплошь занимают некоторый интервал (а, b) задать перечнем всех возможных значений невозможно.
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х , т.е. вероятность события Х 0 . Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:
2 0 . F(x) – неубывающая функция, т.е.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
3 0 . Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то
Следствие. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой оси ОХ (−∞, +∞), то справедливы предельные соотношения:
Рассмотренные свойства позволяют представить общий вид графика функции распределения непрерывной случайной величины:
Функцию распределения НСВ Х часто называют интегральной функцией.
Дискретная случайная величина тоже имеет функцию распределения:
График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Пример. ДСВ Х задана законом распределения
Найти её функцию распределения и построить график.
Если 1 8, то F(x) = 1 (или F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).
Итак, функция распределения заданной ДСВ Х:
График искомой функции распределения:
НСВ можно задать плотностью распределения вероятностей.
Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Плотность распределения ещё называют: плотность вероятности, дифференциальной функцией.
График плотности распределения называют кривой распределения.
Теорема 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
Свойства плотности распределения:
1 0 . Плотность распределения — неотрицательная функция:
2 0 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от −∞ до +∞ равен единице:
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то
Пусть f(x) – плотность распределения, F(х) – функция распределения, тогда
○ F(x) = Р(Х b, то F(х) = =+ + = = 1.
Итак, функция распределения имеет вид:
График искомой функции:
Числовые характеристики НСВ
Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определённый интеграл
Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то
Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.
Дисперсией НСВ Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения.
Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то
Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси (−∞; +∞), то
Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:
D(X) = − [M(X)] 2 ,
D(X) = − [M(X)] 2 .
Среднее квадратическое отклонение НСВ Х определяется равенством
Замечание.Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ Х.
Пример. Найти М(Х) и D(X) случайной величины Х, заданной функцией распределения
Найдём плотность распределения
D(X) = − [M(X)] 2 = − = − = .
Пример (**).Найти М(Х), D(X) и (X) случайной величины Х, если
D(X) =− [M(X)] 2 =− = ∙−=.
Теоретические моменты НСВ.
Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством
Центральный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством
В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то