На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по нормальному закону (или закону Гаусса).
Нормальное распределение часто встречается в природе — это погрешности измерений, отклонения при стрельбе, показатели живых популяций в природе. Помимо этого, нормальным распределением в пределе можно моделировать биномиальное и пуассоновское.
А центральная предельная теорема позволяет применить нормальный закон еще к сотням изучаемых явлений: «Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному.»
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются нормально распределенные случайные величины. Учитесь легко!
Примеры решений
Задача 1. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.
1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.
2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?
Задача 2. Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина $X$ с параметрами $a=161$ см и $sigma=4$ см.
1) Найти функцию плотности вероятности случайной величины $X$ и построить её график.
2) Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.
3) Сформулировать правило трёх сигм для случайной величины $X$.
Задача 3. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?
Задача 4. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16.2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.
Задача 5. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.
а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля.
б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.
в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.
Задача 6. Станок изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение $X$ диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина $X$ распределена нормально со средним квадратическим отклонением $sigma = 0,25$ мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Задача 7. Требуется найти вероятности того, что нормально распределённая случайная величина $X in N (a, sigma)$, где $a=4$ — математическое ожидание, $sigma=5$ — среднее квадратичное отклонение случайной величины $X$, принимает значения:
а) в интервале (2,8);
б) меньшее 2;
в) большее 8;
г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на 10%.
Задача 8. Случайная величина X распределена по нормальному закону $N[-1,2]$. Вычислить
1) вероятность того, что $Xin[-6,1]$
2) вероятность того, что при пяти испытаниях три раза $Xin[M,M +D]$.
Задача 9. С.в. $Y$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 2, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Пусть $X=2Y+5$. Найдите вероятности $P(X gt 10)$, $P(2lt X lt 5)$, $P(X=3)$.
Напишите функции плотности и распределения для $X$ и постройте их графики. Как выглядит правило «трех сигм» для с.в. $X$?
Задача 10. Заданы функция плотности нормального распределения $f(x)=A e^ $ и интервал $(0,3; 1,9)$. Требуется:
1) найти математическое ожидание $m$
2) найти среднее квадратическое отклонение $sigma$ и дисперсию $D$
3) найти неизвестный коэффициент $A$
4) найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
5) построить график функции плотности и на нём отметить площадь, равную найденной вероятности.
Задача 11. Плотность распределения вероятностей нормальной случайной величины $X$ имеет вид $f(x)=gamma e^ $. Требуется найти:
А) неизвестный параметр $gamma$,
Б) математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$,
В) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал (3, 4),
Г) вероятность выполнения неравенства $|X-M[X]| lt 0.2$.
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности (из них более 500 о нормальных случайных величинах):
Нормальное распределение непрерывной случайной величины
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Нормальное распределение: теоретические основы
Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида. Нормальность распределения означает следующее: существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как «нормальные» (а по сути — усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в бОльшую или меньшую сторону.
Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда — распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола (красная кривая на рисунке выше).
Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом «колокола», которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека «нормального» роста, поймать рыбу «нормальной» массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.
Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.
Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.
Нормальное распределение имеет ещё и то преимущество, что один из наиболее простых в использовании статистических критериев, используемых для проверки статистических гипотез — критерий Стьюдента — может быть использован только в том случае, когда данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.
Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:
где x — значение изменяющейся величины, — среднее значение, — стандартное отклонение, e=2,71828. — основание натурального логарифма, =3,1416.
Свойства функции плотности нормального распределения
- для всех значений аргумента функция плотности положительна;
- если аргумент стремится к бесконечности, то функция плотности стреится к нулю;
- функция плотности симметрична относительно среднего значения: ;
- наибольшее значение функции плотности — у среднего значения: ;
- кривая функции плотности выпукла в интервале и вогнута на остальной части;
- мода и медиана нормального распределения совпадает со средним значением;
- при нормальном распределении коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны нулю (подробнее рассмотрим это свойство в следующем параграфе о приближенном методе проверки нормальности распределения).
Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox. Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.
Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении — ниже.
Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал
Уже в этом параграфе начнём решать практические задачи, смысл которых обозначен в заголовке. Разберём, какие возможности для решения задач предоставляет теория. Отправное понятие для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал — интегральная функция нормального распределения.
Интегральная функция нормального распределения:
Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.
Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение, среднее значение которого , а стандартное отклонение .
Функция плотности стандартизованного нормального распределения:
Интегральная функция стандартизованного нормального распределения:
На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.
Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.
Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле
На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s. Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.
Открытый интервал
Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z. То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z. Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.
Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.
Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.
Решение. Введём первое обозначение:
Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:
Теперь случайную величину нужно стандартизировать.
Продолжаем вводить обозначения:
x = 900 — заданное значение случайной величины;
μ = 1000 — среднее значение;
σ = 200 — стандартное отклонение.
По этим данным условия задачи получаем:
По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:
Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.
Эту вероятность можно получить, используя функцию MS Excel НОРМ.РАСП (значение интегральной величины — 1):
P(X≥900) = 1 — P(X≤900) = 1 — НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 — 0,3085 = 0,6915.
О расчётах в MS Excel — в одном из последующих параграфах этого урока.
Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A. Найти величину A.
Решение. В этой задаче 40 % — ни что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение из открытого интервала, меньшее определённого значения, обозначенного буквой A.
Чтобы найти величину A, сначала составим интегральную функцию:
μ = 300000 — среднее значение;
σ = 50000 — стандартное отклонение;
x = A — величина, которую нужно найти.
По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25 .
Поэтому составляем равенство
и находим его решение:
Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.
Закрытый интервал
Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z 1 до z 2 . То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач — следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.
Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период — случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.
Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ=10 и σ=0,071 . Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05 .
Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.
позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z, где z — произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.
Приближенный метод проверки нормальности распределения
Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю.
Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля ( β 1 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды () и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением). Если коэффициент асимметрии больше нуля ( β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды () и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением).
Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).
Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко «Число».
Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко «Число».
Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному, неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит — достаточно?
Требуется сравнить полученные эмпирические значения с допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов по модулю с критическими значениями — границами области проверки гипотезы).
Для коэффициента асимметрии β 1 :
— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,
— среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений n .
Для коэффициента эксцесса β 2 :
— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,
— среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений n .
Так как коэффициенты асимметрии и эксцесса могут оказаться и положительными, и отрицательными, то в приближенном методе проверки нормальности распределения используется двусторонний квантиль стандартного нормального распределения; он задаёт интервал, в который случайная величина попадает с определённой вероятностью. Приведём значения двусторонних квантилей стандартного нормального распределения определённых уровней (слева — уровень, справа — значение квантиля):
Например, для выборки с числом наблюдений n = 50 и α = 0,05 , пользуясь этими значениями и ранее приведёнными формулами, можно получить границу области принятия гипотезы для коэффициента асимметрии 0,62 и для коэффициента эксцесса 1,15. Поэтому приведённые ранее примеры эмпирических значений коэффициента асимметрии -0,14, 0,22, 0,43 попадают в область принятия гипотезы. То же самое относится к значениям коэффициента эксцесса 0,17, -0,31, 0,55. Следовательно, если получены такие эмпирические значения, то с вероятностью 95% данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.
Нормальное распределение и расчёты в MS Excel
Значения функции плотности f(x) и интегральной функции F(x) нормального распределения можно вычислить при помощи функции MS Excel НОРМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).
MS Excel требует ввести следующие данные:
- x — значение изменяющегося признака;
- среднее значение;
- стандартное отклонение;
- интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить функцию плотности f(x) и 1 — если вероятность F(x).
Решим ещё задачи на нормальное распределение
Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность попадания при стрельбе в полосу шириной 3,5 м, если ошибки стрельбы подчиняются нормальному закону распределения со средним значением 0 и σ = 1,9 .
Решим ещё одну задачу вместе
Пример 6. О случайной величине X известно, что она нормально распределена, а вероятности того, что она составит 10 или меньше и больше 25, соответственно и . Найти среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и её дисперсию.
Решение. Используем данные в условии задачи вероятности:
Пользуясь статистическими таблицами, находим:
Составляем систему из полученных равенств:
Решая систему, находим: