Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем какое именно заранее неизвестно.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Этот закон задается в виде таблицы, формулы или графика.
Для дискретных случайных величин одним из наиболее употребительных является так называемый биномиальный закон распределения, к которому приводит схема Бернулли повторения испытаний. Формула (8) и является аналитическим выражением этого закона.
Пример 11.
По каналу связи передается сообщение с помощью кода, состоящего из двух знаков. Вероятность появления первого равна 2/3. Передано три знака. Найти закон распределения для появлений первого знака.
По условию n=4, р=2/3, q=1/3. Возможные значения числа появлений первого знака: 0, 1, 2 и 3. Найдем их вероятности по формуле (8):
Этот закон можно представить в виде таблицы
| X | ||||
| P1/27 | 1/27 | 2/9 | 4/9 | 8/27 |
Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше х, то есть
Геометрически это означает, что случайная величина с вероятностью р примет значение, которое на числовой оси изображается точкой, лежащей левее х.
Для непрерывной случайной величины функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция. Из определения выводятся основные свойства:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1], т.е.
2. F(x) — неубывающая функция, то есть , если
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное на промежутке [а,b[, равна приращению функции распределения на этом промежутке
Для непрерывной случайной величины вероятность принять отдельное значение равно нулю. Поэтому для непрерывных случайных величин
Пример 12.
Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее отрезку [-1;0,5].
Из условия следует, что Х — непрерывная случайная величина, которая может принимать значение от 0 до 1.
Плотностью распределения вероятностей непрерывнойслучайной величины Х называют первую производную от функции распределения
Функция распределения F(x) есть одна из первообразных для плотности распределения. Исходя из определения плотности или дифференциального закона распределения и ее связи с функцией распределения, легко показать следующие свойства:
1. Плотность распределения непрерывной случайной величины — неотрицательная функция
2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна
3. Из свойства 2 получим выражение для функции распределения
4. Условие нормировки
Пример 13.Дискретная величина Х задана таблицей
| Х | ||||
| Р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
1. Если , то , так как Х не может принимать значение меньше 2.
В этом случае в интервал (-¥, х) попадает только одно значение случайной величины Х (X=2). Поэтому
Для любого значения аргумента х функции F(x), удовлетворяющего данному неравенству, в интервал (-¥, х) попадает два значения случайной величины (X=2 и X=3). Поскольку события, что Х примет данные значения являются несовместными (или X =2 или X =3), то
4. Аналогично если
Следовательно, функция распределения будет иметь вид
Строим график функции распределения
Рис. 1 — График функции распределения
дискретной случайной величины
Пример 14. Плотность распределения ошибки измерения
Определить значение коэффициента А и построить график f(x). Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить вероятность того, что ошибка измерения примет значение, заключенное в интервале
Значение коэффициента А легко определить из условия
Функцию распределения F(x) находим по определению
Вероятность того, что случайная величина попадет в указанный интервал, можно вычислить двумя способами:
Строим графики функций
Любой закон распределения случайной величины полностью характеризует ее с вероятностной точки зрения. Однако для практики достаточно бывает указать отдельные числовые характеристики случайной величины, по которым можно судить об особенностях ее распределения. К этим характеристикам относятся среднее или математическое ожидание М(x), дисперсия D(x) и среднее квадратическое отклонение s(x). Две последние величины описывают рассеяние случайной величины относительно среднего.
Для дискретной случайной величины математическое ожиданиеопределяется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Для непрерывной случайной величины:
Дисперсиейслучайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Часто бывает удобно пользоваться другой формулой для вычисления дисперсии
для дискретной случайной величины и
(24) для непрерывной случайной величины.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины, что на практике не всегда удобно. Поэтому наряду с дисперсией для характеристики рассеяния используется корень квадратный из дисперсии, называемый средним квадратическим отклонением.
Пример 15. Для случайной величины, заданной в примере 11, найти M(x), D(x) и s(x).
а) В примере 11 закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:
| Х | ||||
| Р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
По формуле (19) получим
Для определения дисперсии по формуле (22) составим таблицу для случайной величины x 2 .
| x 2 | ||||
| p | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Пример 16. Найти числовые характеристики M(x), D(x), s(x) и постоянную С для равномерно распределенной случайной величины, плотность распределения которой имеет вид:
Из условия нормировки определим С.
Из всех законов распределения непрерывных случайных величин нормальный закон наиболее часто встречается в практике. Плотность распределения нормального закона может быть записана в виде
где s>0 и а — параметры распределения, равные среднему квадратическому отклонению и математическому ожиданию данной случайной величины, соответственно. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал (a,b) вычисляется по формуле
где Ф(х) — функция Лапласа (см. формулу (11)).
Вероятность заданного отклонения от математического ожидания можно найти с помощью более простой формулы
Пример 17.Радиолокатор измеряет дальность до цели с систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 10 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением 25 м. Найти вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 40 м, а также вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинную.
Случайная величина X (ошибка измерения дальности) распределена по нормальному закону.
Вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинную, равна:
Вероятность того что случайная величина примет значение меньше заданного называется
1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.
2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.
1. Виды случайных величин.
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
3. Функция распределения вероятностей случайной величины.
4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
5. Математическое ожидание.
6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
1. Виды случайных величин.
Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.
Случайные величины обозначаются: X , Y , Z . Значения, которые они принимают: x , y , z .
По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).
Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…
Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.
Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения .
Закон распределения дискретной случайной величины— это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.
При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности.
Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».
Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятность того, что «герб» не появится (0 раз).
Найдем вероятность того, что «герб» появится 1 раз.
Найдем вероятность того, что «герб» появится 2 раза.
Найдем вероятность того, что «герб» появится 3 раза.
Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.
Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно.
3. Функция распределения вероятностей случайной величины.
Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.
Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x ) P ( X x ).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F ( x ) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».
Свойства функции распределения:
Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу [0; 1]: .
Свойство 2: F ( x )- неубывающая функция, т.е. при .
Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).
Свойство 3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то F ( x )=0 при (т.к. ; F ( x )=1 при (т.к. — достоверное событие.
Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:
Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).
4. При возрастании значения х в интервале ( a ; b ), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство).
5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).
Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:
Найдите функцию распределения и постройте ее график.
Решение: Если , то F ( x )=0 по 3 свойству. Если , то F ( x )= P ( X Если , то F ( x )= P ( X Если х>8, то F ( x )=1. Действительно, событие Х
Итак, функция распределения имеет следующий вид:
4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ).
Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( a ; b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b .
Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.
Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Свойства плотности распределения вероятностей:
Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0.
Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: .
Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то .
Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.
5. Математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где xi— значения случайной величины, pi— их вероятности, n — число возможных значений случайной величины.
Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.