Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам не известное.
Как видно из примеров по типу множества возможных значений случайные величины бывают дискретные, непрерывные и кусочно-непрерывные.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Существует универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа: функцией распределения случайной величины X называется функция F(X), равная вероятности того, что X примет значение меньше, чем число x,то есть . Иногда ее называют интегральной функцией распределения.
Из определения следует: и .
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию f(X)=F'(X), которую называют плотностью распределения вероятностей (иногда ее называют дифференциальной функцией).
Из определения следует:
Одна из числовых характеристик, фиксирующая положение случайной величины на числовой оси, то есть некоторое среднее, ориентировочное значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения – математическое ожидание M(X).
Математическое ожидание вычисляется:
для дискретной случайной величины;
для непрерывной случайной величины.
Дисперсия D(X) — есть характеристика рассеяния, разбросанности случайной величины около ее математического ожидания.
для дискретной случайной величины;
для непрерывной случайной величины.
Иногда дисперсию удобно вычислять по следующей формуле:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому вводится еще одна характеристика рассеяния – среднее квадратическое отклонение .
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
4. , если взаимно независимые случайные величины.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
независимые случайные величины.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.36. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 10 рублей. Написать закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Напишем возможные значения X: . Вероятности этих возможных значений таковы:
Напишем искомый закон распределения
ПРИМЕР 13.2.37. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением:
Найти: а) коэффициент a; б) найти плотность распределения f(X); в) найти вероятность того, что случайная величина X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.
Решение. а) Для непрерывной случайной величины функция F(x) непрерывна, следовательно, , то есть , откуда .
б) Плотность распределения выражается формулой:
в) Воспользуемся формулой . Тогда,
ПРИМЕР 13.2.38. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | 4 | 6 |
| P | 0,5 | 0,3 |
Найти: а) и , зная, что ; б) дисперсию D(X).
Решение. а) Известно, что . Тогда . По определению математического ожидания ; ; , .
Закон распределения будет иметь вид:
б) Дисперсию можно вычислить двумя способами:
Для второго способа напишем закон распределения случайной величины :
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для случайных величин
3.2.7.1. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули наугад 1 шар. Случайная величина X — число вынутых белых шаров.
а) построить ряд распределения СВ X;
б) построить функцию распределения СВ X;
3.2.7.2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. Найти M(X), D(X).
3.2.7.3. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: , . Найти M(X), D(X) и среднее квадратическое отклонение СВ X — числа отказавших приборов.
3.2.7.4. Случайная величина X — может принимать два возможных значения: с вероятностью 0,3 и с вероятностью 0,7; причем . Найти и , зная, что и .
3.2.7.5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X : , а также известно, что . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.
3.2.7.6. Даны независимые случайные величины X и Y.
Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: а)X+Y; б)2X-3Y ; в)X-Y+5 .
3.2.7.7. Брошены n игральных костей. Случайная величина X — сумма числа очков, которые выпадут на всех гранях. Найти: а) M(X); б) D(X).
3.2.7.8. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,9. Найти M(X) дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.
3.2.7.9. Вероятность того, что в обувном магазине есть обувь, подходящей для покупателя модели, равна 0,6, а вероятность наличия обуви подходящего размера равна 0,8. Построить функцию распределения случайной величины X – числа обувных магазинов, которые посетит покупатель, если в городе три магазина.
| X | 1 | 2 | 3 |
| P |
3.2.7.10. Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х — числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X) и .
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P |
3.2.7.11. Два баскетболиста независимо друг от друга делают по одному броску в одну корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0,6 и 0,9 соответственно. Найти закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в корзину. Найти M(X) и D(X).
| X | 0 | 1 | 2 |
| P |
3.2.7.12. Вероятность того, что на АЗС есть в наличии бензин марки Аи-95, необходимый автомобилисту, равна 0,9. Построить функцию распределения случайной величины X – числа АЗС, которые посетит автомобилист, если в городе пять АЗС. Найти M(X), D(X).
3.2.7.13. Случайная величина X — задана функцией распределения
б) плотность распределения f(x) ;
3.2.7.14. Случайная величина задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X — ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).
3.2.7.15. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ox функцией
.
Найти постоянный параметр C.
3.2.7.16. Случайная величина X — задана плотностью распределения
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию СВ X; б) установить, что вероятнее: в результате испытания окажется X 1.
3.2.7.17. Функция распределения случайной величины X — задана формулой . Найти: а) постоянные и ; б) плотность распределения; в) вероятность того, что СВ X попадет на отрезок [-1;1] ; г)математическое ожидание и дисперсию СВ X.
Отв.: математическое ожидание не существует, а дисперсия бесконечна;
3.2.7.18. Случайная величина X имеет плотность распределения
Требуется а) Построить функцию распределения F(X).
б) Найти вероятность того, что в результате испытания .
3.2.7.19. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.
Непрерывные случайные величины
( НСВ )
Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно занимают некоторый интервал.
Если дискретная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей, то непрерывную случайную величину, возможные значения которой сплошь занимают некоторый интервал (а, b) задать перечнем всех возможных значений невозможно.
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х , т.е. вероятность события Х 0 . Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:
2 0 . F(x) – неубывающая функция, т.е.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
3 0 . Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то
Следствие. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой оси ОХ (−∞, +∞), то справедливы предельные соотношения:
Рассмотренные свойства позволяют представить общий вид графика функции распределения непрерывной случайной величины:
Функцию распределения НСВ Х часто называют интегральной функцией.
Дискретная случайная величина тоже имеет функцию распределения:
График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.
Пример. ДСВ Х задана законом распределения
Найти её функцию распределения и построить график.
Если 1 8, то F(x) = 1 (или F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).
Итак, функция распределения заданной ДСВ Х:
График искомой функции распределения:
НСВ можно задать плотностью распределения вероятностей.
Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Плотность распределения ещё называют: плотность вероятности, дифференциальной функцией.
График плотности распределения называют кривой распределения.
Теорема 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:
Свойства плотности распределения:
1 0 . Плотность распределения — неотрицательная функция:
2 0 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от −∞ до +∞ равен единице:
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то
Пусть f(x) – плотность распределения, F(х) – функция распределения, тогда
○ F(x) = Р(Х b, то F(х) = =+ + = = 1.
Итак, функция распределения имеет вид:
График искомой функции:
Числовые характеристики НСВ
Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определённый интеграл
Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то
Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.
Дисперсией НСВ Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения.
Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], то
Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси (−∞; +∞), то
Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:
D(X) = − [M(X)] 2 ,
D(X) = − [M(X)] 2 .
Среднее квадратическое отклонение НСВ Х определяется равенством
Замечание.Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ Х.
Пример. Найти М(Х) и D(X) случайной величины Х, заданной функцией распределения
Найдём плотность распределения
D(X) = − [M(X)] 2 = − = − = .
Пример (**).Найти М(Х), D(X) и (X) случайной величины Х, если
D(X) =− [M(X)] 2 =− = ∙−=.
Теоретические моменты НСВ.
Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством
Центральный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством
В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то