Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е.
Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее , можно подразделить на следующие два несовместных события:
1) Х примет значение, меньшее , с вероятностью ;
2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью . По теореме сложения имеем .
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Это важное следствие вытекает из свойства 2, если
ПРИМЕР 13.1.40 Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).
Решение. Так как на интервале (1;2), по условию,
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Пусть . Тогда в силу непрерывности функции F(х) (Х — непрерывная случайная величина) ;
Например, равенство доказывается так:
Замечание. Ранее мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, – невозможные события. Теперь же рассматриваются события возможные, но с нулевой вероятностью. Они появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии “возможном, но обладающем нулевой вероятностью”, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна из точек внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из этой фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.
Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю. Однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т.е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:
Доказательство. 1) Пусть . Тогда событие невозможно (так как значений, меньших , величина Х по условию не принимает) и,следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть . Тогда событие достоверно (так как все возможные значения Х меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми (первое свойство).
При возрастании х в интервале (a;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).
При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).
График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.13.1.3.
Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(X) равна единице.
ПРИМЕР 13.1.41 Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. Если , то (третье свойство).
Если , то , т.к. Х может принять единственное возможное в данном случае значение -1 с вероятностью 0,2.
Если , то . Действительно, т.к. Х может принять значение -1 (вероятность этого события равна 0,2) или значение 2
(вероятность этого события равна 0,3). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(Х), выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее Х: .
Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.
Случайная величина Х называется Непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю
Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т. е.
Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от А до B (где А и B — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений и единице для значений .
Для непрерывной случайной величины
Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Плотностью вероятности (Плотностью распределения или Плотностью) Р(Х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
Плотность вероятности Р(Х), как и функция распределения F(Х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для Непрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.
График плотности вероятности называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают А минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.
Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех и единице для . Время течет равномерно. Поэтому вероятность того, что истинное время меньше А + 0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли после А менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше А + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше А + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше А + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше А + + α мин , равна α. Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:
Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух: Х = а и Х = а + 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):
Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Все значения этой функции принадлежат отрезку , т. е. . Функция F(Х) является неубывающей: в промежутке она постоянна, равна нулю, в промежутке возрастает, в промежутке также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке Х0 области ее определения — промежутка , поэтому непрерывна слева, т. е. выполняется равенство
Выполняются и равенства:
Следовательно, функция удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х.
Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как на промежутке она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.
Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти коэффициент А и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения
Коэффициент А определяем с помощью равенства
Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции в точке
Поэтому плотность вероятности имеет вид
Вероятность Попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле
Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)
Найти коэффициент А и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала . Найти функцию распределения этой случайной величины.
Решение. Найдем коэффициент А из равенства
Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала , равна
Найдем функцию распределения данной случайной величины
Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величины Х изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.
Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины
Найдем функцию распределения.
Следовательно, функция распределения имеет вид