Наука, изучающая формы, методы и законы правильного мышления, называется логикой. Она интересуется не содержанием мышления, а его формой, поэтому ее часто называют еще формальной логикой.
Форма мышления — это способ выражения мыслей или форма, по которой они строятся.
Форма, обозначающая какой–либо объект или отличающий его признак, называется понятием. Примеры понятий: «компьютер», «планета», «длина», «профессия».
Форма, утверждающая или отрицающая что–либо о свойствах понятий и отношений между ними, называется утверждением (высказыванием, суждением). Примеры логических утверждений: «Декодирование — процесс восстановления информации из закодированного представления»; «В двоичной системе используются две цифры: 0 и 1»; «Париж — столица Франции». Утверждения могут быть истинными или ложными. Так, высказывание «Шанхай — столица Франции» является ложным утверждением.
Форма, в которой из двух или нескольких высказываний получают новое утверждение, называется умозаключением. Пример умозаключения: «Периферийные устройства компьютера — это устройства для ввода или вывода информации. Сканер — устройство для переноса текста и изображений с бумаги в компьютер. Следовательно, сканер — периферийное устройство».
Правила, которые должны соблюдаться, чтобы на основании истинных суждений получить истинные выводы, — это законы мышления. Логика изучает эти законы и способы получения новых утверждений на основании уже имеющихся.
Математическая логика использует для установления истинности или ложности высказываний математические методы. Она пользуется специальным символьным языком, подобным языку математики, поэтому ее часто называют символьной логикой.
Алгебра логики — раздел математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях. Она изучает логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно. Вопросительные и повелительные предложения не являются логическими высказываниями. Но и не каждое повествовательное предложение является логическим высказыванием. Например, суждение «Лето было очень дождливым» не является однозначным, для утверждения «Существует несколько Вселенных» нельзя однозначно определить истинность; поэтому такие предложения не являются логическими высказываниями (утверждениями).
Таким образом, отличительной особенностью логических высказываний является возможность принимать одно из двух значений — истина и ложь. Истинность или ложность высказывания определяется вне алгебры логики — с помощью наблюдений, научных исследований, практических опытов и т. п.
В алгебре логики различают простые высказывания и сложные (составные), составленные из нескольких простых. Если в высказывании нельзя выделить некую часть, которая не совпадает по смыслу с исходным высказыванием и сама является высказыванием, то оно называется простым высказыванием. Простые высказывания обычно обозначаются латинскими буквами A, B, C и т. д.
Сложные высказывания представляют собой объединение простых высказываний с помощью логических связок. В качестве логических связок используются слова «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то». Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний. Например, из простых высказываний «Офис фирмы находится в Мадриде» и «Офис фирмы находится в Берлине» можно составить сложные: «Офис фирмы находится в Мадриде или Берлине», «Офис фирмы находится в Мадриде и Берлине», «Если офис фирмы находится в Мадриде, то он находится в Берлине». Истинность первого из них означает, что офис фирмы находится в одном из названных городов или же имеются офисы в обоих городах. Ложность его означает, что ни в одном из этих городов офиса нет. Второе составное утверждение истинно тогда, когда в обоих городах имеется офис фирмы. Если же офис существует только в Берлине или только в Мадриде, — второе составное высказывание ложно.
В классической, двузначной алгебре логики логических значений всего два: истина (True) и ложь (False). Им соответствует цифровое представление — 1 и 0. Иногда эти значения записывают как «да» и «нет». Факт истинности или ложности некоторого высказывания А записывают соответственно как А = 1 или А = 0.
Логические операции
В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции. Они имеют свои названия и обозначения. Результаты применения каждой операции к логическим высказываниям (истинным или ложным) можно представить в виде таблицы. В ней указывают все возможные сочетания значений исходных логических высказываний и истинность или ложность результата. Такие таблицы называют таблицами истинности операции. Обычно в них используют обозначения логических значений 0 и 1 или ложь и истина.
Основные логические операции — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающая дизъюнкция, следование, эквивалентность.
Логическое отрицание (инверсия) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания получается новое высказывание — отрицание исходного. Обозначается символически чертой сверху (Ā) или условными обозначениями ¬А, not А, не А (читается «отрицание А», «не А», «А ложно», «неверно, что А»).
Высказывание ¬А ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.
Таблица истинности операции отрицания
Если обозначить через А высказывание «Арбуз является ягодой», то ¬А соответствует высказыванию «Арбуз не является ягодой» («Неверно, что арбуз — ягода»).
Отрицание является унарной операцией. Унарная (одноместная) операция — это операция, которая применяется к одному операнду.
Остальные логические операции являются двуместными (бинарными). Бинарная (двуместная) операция — это операция, которая выполняется над двумя операндами.
Логическое умножение (конъюнкция) — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и». Эта связка символически обозначается с помощью знака ∧ и читается «А и В». Для обозначения конъюнкции также применяются знаки: А • В, А & В, А и В, А and В, а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ.
Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Высказывание А ∧ В ложно только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний А или В.
Таблица истинности операции конъюнкции
Например, высказывания «Лондон расположен севернее Лиссабона» и «Лондон расположен восточнее Лиссабона» истинны. Тогда истинным будет и составное логическое высказывание «Лондон расположен севернее и восточнее Лиссабона». Высказывания «Лондон расположен не севернее и восточнее Лиссабона», «Лондон расположен севернее и не восточнее Лиссабона», «Лондон расположен не севернее и не восточнее Лиссабона» — ложны.
Логическое сложение (дизъюнкция) — операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки « или». Эта связка символически обозначается с помощью знака v и читается «А или В». Для обозначения дизъюнкции также применяются знаки: А + В, А или В, А or В, А | B.
Высказывание А v В истинно только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Высказывание А v В ложно только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Таблица истинности операции дизъюнкции
Например, высказывания «Виктор старше Ольги» и «Виктор — однофамилец Ольги» истинны. Тогда истинными будут и составные логические высказывания «Виктор старше Ольги или Виктор — однофамилец Ольги», «Виктор младше Ольги или Виктор — однофамилец Ольги», «Виктор старше Ольги или Виктор — не однофамилец Ольги». Высказывание «Виктор младше Ольги или Виктор — не однофамилец Ольги» — ложно, поскольку ложны оба составляющие его простые высказывания.
Исключающее сложение (исключающая дизъюнкция, строгая дизъюнкция, сложение по модулю два, дизъюнкция строго–разделительная) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «или», употребленной в исключающем смысле (называется также исключающее «или»). Операция символически обозначается с помощью знака ⊕ и читается «либо А, либо В».
Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.
Таблица истинности операции строгой дизъюнкции
Например, результат исключающей дизъюнкции двух высказываний «Виктор не старше Ольги» и «Виктор младше Ольги» всегда будет истиной, кто бы из них не был старше.
Логическое следование (импликация) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «если… то» в сложное высказывание. Операция символически обозначается с помощью знака → и читается «Если А, то В», «А влечет В», «из А следует В», «А имплицирует В». Для обозначения импликации применяются также знаки ⊃ или ⇒. Первое логическое высказывание является условием (посылкой), а второе — следствием (заключением).
Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина. Таким образом, импликация А → В ложна только тогда, когда А истинно, а В ложно (из истинного высказывания следует ложное). Во всех остальных случаях импликация истинна.
Таблица истинности операции импликации
Для высказываний «Луна — спутник Земли» и «Сумма углов треугольника не равна 180°» (первое истинно, второе ложно) составное высказывание «Если Луна — спутник Земли, то сумма углов треугольника не равна 180°» будет ложным. Однако истинными будут высказывания «Если Луна — спутник Земли, то сумма углов треугольника равна 180°», «Если Луна — не спутник Земли, то сумма углов треугольника не равна 180°» и «Если Луна — не спутник Земли, то сумма углов треугольника равна 180°». Этот пример наглядно демонстрирует, что в алгебре логики смысл высказываний не учитывается, а рассматриваются только их истинность или ложность.
Логическое равенство (эквивалентность, следование, двойная импликация, равнозначность) — логическая операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ≡ В (читается «А эквивалентно B»). Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Для обозначения эквивалентности применяются знаки
Если оба высказывания имеют различные логические значения, результатом операции эквивалентности всегда будет ложь. Если же оба простые высказывания ложны или оба истинны, то составное логическое высказывание всегда будет истинно.
Таблица истинности операции эквивалентности
Для высказываний «Линейное уравнение всегда имеет решение» и «Кит — млекопитающее» их эквивалентность всегда будет истиной, так как оба простые утверждения истинны.
Таким образом, сводная таблица истинности для всех основных логических операций имеет вид:
Логические выражения
Логические высказывания могут быть записаны в виде формул (логических выражений). Логические выражения включают логические переменные, знаки логических операций, логические константы (истина и ложь) и скобки. Логические выражения принимают значения истина или ложь.
Правила построения логических выражений:
- любая логическая переменная или константа (истина и ложь) являются логическим выражением;
- если А — , то ¬А — тоже логическое выражение;
- если А и В — логические выражения, то А ∧ В; А v В ; А ⊕ В; А → В; А
Например, A ⊕ истина v В v ложь — логическое выражение; А v ⊕ В v ложь не является логическим выражением. Логическое выражение, принимающее значение истина при любых значениях входящих в него переменных, называется тождественно–истинным выражением (тавтологией). Например, А v В v ¬А; (А ∧ ¬А) → В. Логическое выражение, принимающее значение ложь при любых значениях входящих в него переменных, называется тождественно–ложным выражением (противоречием). Например, А ∧ ¬А; В Логическое выражение, принимающее как значение ложь, так и значение истина при разных значениях входящих в него переменных, называется выполнимым выражением.
ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Для сложных логических выражений, содержащих несколько логических операций, определен порядок выполнения действий (приоритет): сначала операции отрицания, затем операции логического умножения, потом операции логического сложения и исключающего сложения, последними выполняются операции импликации и эквивалентности. Операции выполняются слева направо. Порядок выполнения может быть изменен с помощью скобок. Приоритет выполнения логических операций в логических выражениях
Пример 1
Определить порядок выполнения логических операций в выражении.
Вычислить его значение, если А = 1, В = 0, С = 1.
¬А ∧ С v (A ⊕ В) ∧ В Решение. Первыми вычисляются значения в скобках. Затем выполняются операции по приоритетам: самый высокий приоритет имеет операция отрицания, после нее, как в математике, следуют операции умножения, а затем сложения. Таким образом, порядок будет следующий:
Тогда значение выражения ¬1 ∧ 1 v (1 ⊕ 0) ∧ 0 после вычисления отрицания и выражения в скобках: 0 ∧ 1 v 1 ∧ 0, после операций умножения: 0 v 0. Итог: 0.
Ответ: логическое выражение ложно. Пример 2
Для каких из приведенных слов истинно следующее высказывание?
(Вторая буква гласная) ИЛИ (Первая буква гласная) И НЕ (Длина имени не больше 5 букв) 1) Олег 2) Марианна 3) Светлана 4) Ольга.
- В соответствии с приоритетом выполнения операций сначала нужно вычислить результат операции отрицания: «Длина имени больше 5 букв». Такие имена — Марианна, Светлана.
- Затем необходимо рассчитать результат конъюнкции (связка И) второго и третьего высказываний. Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания. Следовательно, нужно выбрать имена, в которых и первая буква гласная, и длина имени больше 5 букв — таких имен среди вариантов нет.
- Результат дизъюнкции (связка ИЛИ) истинен только тогда, когда истинно или одно, или второе, или одновременно оба простые высказывания. Первое простое высказывание истинно для имени Марианна, второе ложно для указанных имен. Таким образом, верный вариант ответа — 2.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОГИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
Между логическими операциями существует взаимосвязь. Операции исключающего «или», следования и эквивалентности можно выразить через операции отрицания, логического сложения и умножения, что отражено в следующей таблице.
Связь между логическими операциями
Поэтому операции отрицания, логического сложения и логического умножения называют основными логическими операциями: их достаточно, чтобы построить любое логическое выражение.
Если логическое выражение содержит только операции отрицания, логического сложения и логического умножения, говорят, что выражение находится в нормальной форме.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Логические выражения, значения которых совпадают для всех наборов входящих в них переменных, называются равносильными, или эквивалентными.
Чтобы убедиться, что два выражения равносильны, можно построить для них таблицы истинности. Если в таблицах совпадут все значения, значит, выражения равносильны.
Пример 3
Проверить равносильность выражений А
Решение. Для проверки следует создать таблицу истинности, содержащую столько строк, сколько возможно наборов значений переменных, входящих в выражение. Для двух переменных (А и E) количество наборов равно четырем. К двум столбцам для значений переменных (А и E) нужно присовокупить количество столбцов, равное количеству операций в выражении. Таким образом, необходимо создать таблицу, содержащую 4 строки и 7 столбцов.
Заполним первые 2 столбца (А и E) всеми сочетаниями значений переменных. Запишем в качестве заголовков столбцов все операции выражения в порядке их выполнения (в соответствии с приоритетами и скобками). Рассчитаем значения этих операций: сначала выражения в скобках, затем результат их сложения.
Последний столбец содержит результирующее значение выражения. Он совпадает с таблицей истинности для операции эквивалентности. Следовательно, выражения равносильны.
Основные законы алгебры логики
Для сложных логических выражений с большим числом переменных определение их истинности путем построения таблиц истинности становится громоздким. В таких случаях применяют способы упрощения выражений. Под упрощением понимают равносильное преобразование выражения к его нормальной форме.
Нормальная форма выражения содержит только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицания выражений и двойных отрицаний.
Для упрощения используют равносильные преобразования, которые иначе называют основными законами алгебры логики.
Тождественные преобразования логических выражений
Для всех тождественных преобразований выполняется закон двойственности: если в формуле преобразования заменить конъюнкцию на дизъюнкцию, дизъюнкцию — на конъюнкцию, значения 1 — на 0, 0 — на 1, то закон, сформулированный для конъюнкции, примет форму аналогичного закона для дизъюнкции, и наоборот.
Прежде всего при равносильных преобразованиях избавляются от отрицания выражений, потом — от логических операций исключающей дизъюнкции, следования и эквивалентности. Затем используют законы алгебры логики для уменьшения количества переменных в выражении.
Пример 4
Выбрать выражение, которое равносильно выражению (A ∧ B) v (Ā ∧ B).
1) A 2) A ∧ B 3) Ā ∧ B 4) B
Решение. В соответствии с законом склеивания (A ∧ B) v (Ā ∧ B) = B, следовательно, исходное выражение равносильно выражению В.
Ответ: 4) В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Выражения, которые принимают логические значения (истина или ложь) в результате выполнения операций сравнения (больше >, меньше 3
Решение. В соответствии с приоритетами операций сначала следует выполнить операции сравнения, затем отрицания, а потом — конъюнкцию. Отрицанием высказывания М ≥ 10 является высказывание М 3. Для того чтобы это выражение (конъюнкция) было истинным, должны выполняться (т. е. быть истинными) оба неравенства. Следовательно, значение М должно быть больше 3, но меньше 10. Среди предложенных значений этому условию удовлетворяет только одно — число 4.
Ответ: 4) 4.
Задачи, подобные предыдущему примеру, можно решать и с помощью таблиц истинности.
Пример 6.
Для какого из приведенных ниже значений числа М истинно следующее выражение?
¬М ≥ 10 ∧ M > 3
Решение. Составим таблицу истинности: все операции выражения укажем в столбцах таблицы, все предложенные значения М укажем в ее строках. Рассчитаем значения таблицы:
Последний столбец содержит результат всего выражения. Истинным оно будет только для значения числа М, равного 4.
Ответ: 4) 4.
Пример 7.
В табличной форме представлены ежемесячные данные о продаже групп товаров за полгода. Сколько групп товаров демонстрировали рост продаж в весенние месяцы или вышли на уровень свыше 80 % в июне?
Решение. Переформулируем условие задачи: необходимо найти группы товаров, для которых (Март 80).
Введем обозначения:
А = (Март 80)
Тогда выражение можно записать как А ∧ В v С.
Логическое выражение состоит из одной конъюнкции и одной дизъюнкции. Значение выражения конъюнкции истинно только тогда, когда истинны оба составляющие его простых выражения ((Март
Конспект урока по информатике «Логические значения, операции, выражения».
Какое значение примет логическая функция
Если значение логического выражения необходимо найти для всех комбинации значений логических переменных, то говорят, что надо найти значение логической функции. Когда речь идёт о логической функции, то тогда каждой комбинации значений переменных соответствует одно из двух логических констант— или .
Логическая функция—это однозначное соответствие каждой из возможных комбинаций значений логических переменных одной из логических констант.
Логическую переменную логической функции называют логическим аргументом, который может принимать только одно из двух возможных значений: логический ноль или логическая единица. Значение логической функции F( A ), как правило, зависит от логического аргумента А.
Аргументов от которых зависит функция может быть неограниченно, в зависимости от условия задачи.
Способом описания логической функции является таблица истинности, которая позволяет для каждого набора логических аргументов описать единственное значение логической функции
Основные операции над аргументами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
Отрицанием называется высказывание , обозназаемое ¬ A, которое считается истинным, если А ложно, и ложным, если А истинно.
—таблица истинности отрицания
Конъюнкцией называется высказывание , обозначаемое А^В , которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
—таблица истинности конъюнкции
Дизъюнкцией называется высказывание , обозначаемре А v В, которое считается ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
—таблица истинности дизъюнкции
Импликацией называется высказывание , обозначается А → В, которое считается ложным тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно.
—таблица истинности импликации
Эквиваленцией называется высказывание , обозначается А ↔ В, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно либо истинны, либо ложны.
—таблица истинности эквиваленции
Рассмотрим один из примеров, как можно с помощью логики найти решение.
П.Андрей или переутомился или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следует ли отсюда, что он болен?
Решение: пусть А-переутомился, В-раздражается. В условии сказано что в логике есть операция импликация , тогда запишем А→В , также в условии сказано, что он не раздражается, запишем как ¬В. Получим F=(А→В)˄¬В Составим таблицу истинности.
Смотрим на F , наша функция истинна в одном случае, когда А ложно, следовательно то, что Андрей болен истина, т.к. условие не допускает два истинных высказывания
Современная компьютерная техника, автоматизируя информационные процессы, выполняет действия над информацией. Для этого разная информация (числа, текст, графика, звук) приводится к одному виду — к последовательностям нулей и единиц. Выполнение операций с нулями и единицами происходит по правилам математической логики с помощью специальных логических преобразователей (логических элементов). Логические преобразователи обрабатывают нули и единицы в соответствии с логическими операциями.
Каждая из трех основных логических операций выполняется с помощью отдельного логического преобразователя, имеющего так называемые входы и выходы. Логический преобразователь для выполнения логического отрицания имеет один вход и один выход. Логические преобразователи для выполнения логического умножения и сложения имеют два входа и один выход. На каждый вход этих логических преобразователей подается сигнал — одно из двух разных состояний (есть ток — нет тока, включено — выключено, намагничено — не намагничено). При этом на выходе также появляется сигнал — одно из двух состояний, который определяется логическим преобразователем автоматически в соответствии с таблицей истинности для логической операции. Каждое из таких состояний может кодироваться нулем или единицей.
Логический преобразователь (логический элемент) — устройство, которое получает сигналы (0 или 1), обрабатывает их в соответствии с логической операцией и выдает сигнал (О или 1) на выходе.
Каждый логический преобразователь, выполняющий одну из трех основных логических операций, имеет свое условное обозначение .
Алгоритм построения логической схемы:
1. Определить последовательность выполнения логических операций в соответствии с приоритетом их выполнения: отрицание, логическое умножение, логическое сложение, импликация, эквиваленция.
2. Определить логические элементы для логической функции
3. Рисуем линии соответствующие логическим аргументам
4. Выполнить соединение логических преобразователей
Замечания: строить схему проще, если начинать построение с конца последовательности выполнения операций.
Рассмотрим один из примеров, на составление логической схемы .
Логические преобразователи могут быть настроены по-разному. Различают механические, пневматические, гидравлические, электрические, электронные и другие логические преобразователи. Так, например, в качестве логического преобразователя может использоваться электрическое руле с замкнутыми контактами. При отсутствии тока в обмотке реле тока (логический ноль) ток течет через замкнутые контакты (логической единицы).И наоборот, когда на обмотку реле подается ток (логическая единица), реле срабатывает, размыкает соединение и течение тока через контакты прекращается (логический ноль).
Примером логического преобразователя является обычным елочная гирлянда. Она горит (логической единицы) только тогда, когда исправны все последовательно соединенные лампочки в гирлянде (логические единицы). Выход из строя хотя бы одной лампы (логический ноль) приводит к тому, что вся гирлянда гаснет (логический ноль). Тоже время службы, состоящую нескольких ламп, соединенных параллельно, можно рассматривать в качестве примера электрического логического преобразователя. Какую функцию не может освещать помещение (логический ноль) только тогда , когда неисправны любимый включения лампы открытку в 13 00).
Работа в современных компьютерах основана на использовании электронных логических преобразователей. Объединение миллионов таких электронных компонентов позволяет создавать микропроцессор, микросхемы оперативной памяти и другие устройства.
Таким образом, действия над информацией можно описать с помощью логических выражений и логических функций. Выполнение входящих в их состав логических операций можно осуществить с помощью основных логических преобразователей. Правильное соединение этих элементов в логические схемы позволяет создавать устройства, выполняющие достаточно сложные действия над информацией, а значит, и дающий возможность автоматизировать информ.